1.9. Функция нескольких переменных

Решены задачи для таких учебных заведений: НАУ, КНУБА, ГЭТУТ, КИБИТ,

КНУКиИ, НУГНСУ, ПУПКУ, СГУ, ЖГТУ, ЖГАЕУ, ЕУ, Кемт, Жтк, Бк, КорТеК и др.

Термины по теме на украинском языке:

екстремум функції, найбільше і найменше значення функції в даній замкнутій області ,

функція двох змінних , диференціал у точці , градієнт функції в точці , рівняння дотичної ,

рівняння нормальної площини , кривина лінії в точці , область визначення функції, повний

диференціал функції , частинні похідні, частинні похідні першого та другого порядку

функції двох змінних, похідна функції в точці за напрямком вектора ,

рівняння дотичної і

нормалі до кривої в заданій точці , рівняння дотичної площини і нормалі до заданої

поверхні в точці ,

умовні екстремуми функції .

1.9.1. Экстремумы функции нескольких переменных

1.9.1.01 - 1.9.1.013 Исследовать на экстремум функцию z  f ( x , y ) :

1.9.1.01 z  3 x  3 y  x 2  xy  y 2  6

1.9.1.02 z  7 x  8 y  x 2  ху  у 2  10

1.9.1.03 z  8 x  4 y  x 2  xy  y 2  15

1.9.1.04 z  x 2  y 2  6 x  8 у  12

1.9.1.05 z  2 x  8 y  x 2  у 2  9

1.9.1.06 f ( x , y )  2 x 3  xy 2  5 x 2  y 2

1.9.1.07 f ( x , y )  e x 2  y 2 , если x  y  1

1.9.1.08 z  x 2  xy  y 2  3 x  2 у  1

1

1

1.9.1.09 z  x 2  xy  y 2  

x

y

1.9.1.010 z  x 3  xy 2  12 x  y 2

1.9.1.011 z  x 3  8 y 3  6 xy  5

1.9.1.012 z  xy  3 x 2  2 y 2

1.9.1.013 z  3 xy  x 2  3 y 2  6 x  9 y  4

Заказать задачи можно здесь.

1.9.2. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в

замкнутой области

1.9.2.01 Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  f ( x , y ) в данной

замкнутой области : z  x 2  2 xy  4 x  4 y  7 в прямоугольнике 1  х  3 , 1  y  4

1.9.2.02 z  x 2  4 xy  y 2  5 в треугольнике, ограниченном осями Ох и Оу и

прямой y  2  х

1.9.2.03 z  x 2  y 2  10 x  2 y  15 в прямоугольнике 2  x  6 , 0  y  5

1.9.2.04 z  x 2  2 xy  4 x  4 y  7 в области , ограниченной параболой

y   x 2  4 x и осью Ох

1.9.2.05 z  x 2  2 y 2  4 xy  2 x  4 y  2 в квадрате 0  x  2 , 0  y  2

1.9.2.06 z  x 2  xy ;

 1  x  1 , 0  y  3 .

1.9.2.07 z  x 2  2 xy  y  2 x ,

5 2

D : x  0 , x  2 , y  0 , y  2

2

1.9.2.08 z  10  2 xy  x 2 в области 0  y  4  x 2

Заказать задачи можно здесь.

1.9.3. Доказать тотождество

 2 f

 2 f

1.9.3.01. Дано функцию двух переменных Z  f ( x , y ). Показать , что



.

 x  y

 y  x

Z  x 3 ln( y 5  1 )  cos xy

1.9.3.02. Z   xy  e x  e y  xy  ;  2 f   2 f .

 x  y

 y  x

 2 z

 2 z

1.9.3.03. z   ( x 2  y 2 ) 3 ;

1



.

3

 x  y

 y  x

1.9.3.04. z  ln  x 2  y 2  ; F   2 z2   2 z2  0 .

 x

 y

 2 f

 2 f

1.9..3.05. z  5 x ln 2 y  cos 2 xy ;



.

 x  y

 y  x

 2 z

 2 z

1.9.3.06. z  tg 2 ( x  ay ) , ( а – постоянная величина) ;

 а 2

.

 у 2

 х 2

1.9.3.07. u  e xy ; x 2  2 u  y 2  2 u  0 ,

 x 2

 y 2

1.9.3.08. Показат m, что функция z  f ( x , y ) удовлетворяет заданому уравнению и

вычислить дифференциал в точке М ( х ; у ) при заданых  х ;  у .

 2 z

 2 z

z  ln  x 2  y 2  2 y  1 



 0 ; M ( 2 ;  2 );  x  0 , 1 ;  y   0 , 4 .

 x 2

 y 2

Заказать задачи можно здесь.

1.9.4. Задачи на функцию нескольких переменных

 z

1.9.4.01 - 1.9.4.04 Найти частные производные и

 z

функции z  z ( x , y ).

 x

 y

x

1.9.4.01 z  arctg 2

 3 y 3  x

y

1.9.4.02. z  3 x 2 y  4 x 3 y

1.9.4.03. z  6 x 4  3 xy 2  2 y 3  5

1

1.9.4.04. z  x  y 

x  y

1.9.4.05. Найти условные экстремумы функции : z  x 2  y 2 при x 2  y 2  1

1.9.4.06. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в заданой точке

М 0 ( х 0 , у 0 , z 0 )

х  t 3 ,

y  ( t  1 ) 2 , z  t 2  1 , ,

М 0 (-8; 1;

5 )

1.9.4.07. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к заданой поверхности в

точке М 0 ( х 0 , у 0 , z 0 )

х 2  z  4 y 2   2 xy ,

М 0 (-2; 1; 2)

1.9.4.08 Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

z  f ( x ; y )

в точке М 0 ( х 0 , у 0 , z 0 )

z   4 y 2  3 x 2  4 x  3 y ,

x 0

 0 ,

y ₀  1 .

1.9.4.09. Найти производную функции z  2 x 2  3 xy 3  y в т. М ( 1; - 5) за направлением

вектора l  {  2 ; 3 }

1.9.4.010. Найти производную функции z  ln( x 2  y 2 ) в т. A ( 0; 4) за направлением







вектора l  3 i  4 j .

1.9.4.011. Найти полный дифференциал функции df

f ( x ; y )  x 4  y 4  5 xy

1.9.4.012. Найти частные производные и полный дифференциал функции

z  3 x  y  4 ( x 2  y 2  3 )

1.9.4.013. Найти область определения даной функции z  ln( x 2  y 2  3 ) .

1.9.4.014. Найти область определения функции и изобразить её на плоскости ХО Y

x

z 

.

9  2 x 2  y 2

1.9.4.015. Дано функцию z  f ( x , y ) и две точки А ( х 0 , у 0 ) і В ( х 1 , у 1 ) . Необходимо :

1) вычислить значение z 1 в точке В ;

2) вычислить приближённое значение z 1 функции в точке В , исходя из значения z 0

функции в точке А и заменяя приращение функции при переходе от точки А до точки В

дифференциалом;

3) оценить в процентах относительную погрешность, которая возникает при замене

приращения функции её дифференциалом.

z  4 x 2  y 2  2 xy , А (3; 1), В (2,87; 1,03).

1.9.4.016. Найти градиент функции u  2 x 2  5 xy 3  6 yz 2  5 в т. М (-2; 1; 4).

 y 

1.9.4.017. Вычислить градиент функции z  arctg   в точке А (1; 1).

 x 

1.9.4.018. Найти градиент функции z  x 2  y 2 в точке А (4;3).

1.9.4.019. Составить уравнение касательной , уравнение нормальной плоскости и

вычислить кривизну линии r  r ( t ) в точке t 0

 



 



r ( t )  ln( t  3 ) i  t j  ( t 2  16 ) k ,

t ₀  4

1.9.4.020. Предприятие выпускает два вида продукции в количествах

соответственно х и у . Единица продукции каждого вида реализуется

соответственно за ценой р 1 = 40 и р 2 = 60. Найти объём продукции, при которых

прибыль предприятия будет максимальной , если функция растрат имеет вид

c  c ( x , y )  x 2  y 2  80 .

Заказать задачи можно здесь.