1.8. Функции

Решены задачи для таких учебных заведений: НАУ, КНУБА, ГЭТУТ, КИБИТ,

КНУКиИ, НУГНСУ, ПУПКУ, СГУ, ЖГТУ, ЖГАЕУ, ЕУ, Кемт, Жтк, Бк, КорТеК и др.

Термины по теме на украинском языке:

неперервність функції, неперервна функція, точки розриву функції, розривна функція,

границі в точці розриву зліва і справа , границі функції зліва і справа , дослідити функцію

на неперервність в точках, характер розриву , монотонність функції , проміжки

монотонності функції , локальні екстремуми, асимптоти функції, похилі асимптоти,

вертикальні асимптоти, горизонтальні асимптоти, проміжки опуклості, точки перегину

функції, найбільше і найменше значення функції на відрізку, повне дослідження функції ,

дослідження методом диференційного числення, область визначення, періодичність

функції, парність функції, зростання функції, спадання функції, графік функції.

В разделе 1.8.4 « Полное исследование функции » для удобства поиска

нужного примера, все функции сгруппированы не по способу решения, а по ©внешнему

видуª по таким категориям: 1.8.4.1. Функции дроби , 1.8.4.2. Функции не дроби , 1.8.4.3.

Функции с е, 1.8.4.4. Функции с ln, 1.8.4.5. Тригонометрические функции , 1.8.4.6.

Функции с модулем

1.8.1. Непрерывность функции

1.8.1.01. Задано функцию y  f ( x ) . Найти точки разрыва функции , если они

 cos x ,

если х  0



существуют . Сделать рисунок.

f ( x )   x 2  1 ,

если 0  x  1



 x

если х  1

1.8.1.02. Задано функцию y  f ( x ) и два значения аргумента х 1 и х 2 . Необходимо :

1) установить , есть ли функция непрерывной или разрывной для каждого с заданых

значений аргумента;

2) в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа

3) зробити схематичний рисунок.

1

f ( x )  3 4  x ;

х 1 = 2;

х 2 = 4.

1

1.8.1.03. f ( x )  4 3  x ;

х 1 = 1;

х 2 = 3.

4

1.8.1.04. Исследовать функцию на непрерывность f ( x )  8 х  2  1 в точках х 1 = 2 и

х 2 = 3.

 x  3 ,

если х  0 ,



1.8.1.05. f ( x )   4  x ,

если 0  x  2 ,

 2

 x  2

если х  2 .

1.8.1.06. f ( x )  arctg

x

x  1

  ( x  1 ),

если х   1 ,



1.8.1.07. f ( x )   ( x  1 ) 2 ,

если  1  x  0 ,





x

если х  0

1.8.1.08. Исследовать заданую функцию y  f ( x ) на непрерывность в точках х 0 = 0,

х 1 = 1. В случае разрыва найти пределы функции слева и справа, определить характер

розрыва .

1

f ( x ) 

.

сos 2 x  1

Заказать задачи можно здесь.

1.8.2. Исследование функции

1.8.2.01. Знайти проміжки монотонності функції у  2 x 3  9 x 2  12 х .

1.8.2.02. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить

эскиз графика функции f ( x )  x 3 ( x  2 ) 2 .

1.8.2.03. Найти асимптоты функции y 

x

 x .

2 x  1

1.8.2.04. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

f ( x )  x 3  3 x 2  1

1.8.2.05. Определить глобальные экстремумы f ( x )  x 2 ln x , при x  [ 1 , e ] .

Заказать задачи можно здесь.

1.8.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

1.8.3.01. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y  f ( x ) на отрезке  a ; b  .

3

f ( x ) 

x  cos x ,

  

0 ;

.

2



 2 



1.8.3.02. у  e 4 x  x 2 ,

 1 ; 3 

1.8.3.03. у 

4 x

,

4  x 2

  4 ; 2 

1.8.3.04. у  х  ln x ,

 1

; 1



 2

 e





1.8.3.05. f ( x )  x 5  5 x 4  5 х 3  1 ,

  1 ; 2 

1.8.3.06. f ( x )  x 4  2 x 2  5 ,

  2 ; 2 

3

1.8.3.07. f ( x ) 

x  cos x ,

  

0 ;

2



 2 



х 2  2 х  2

1.8.3.08. f ( x ) 

х  1

,   1 ; 3 

2 х  1

 1



1.8.3.09. у 

,

 ; 0 .

( х  1 ) 2



 2





2

 х 2



1.8.3.010. у    4   3 х 3 ;

[  1 , 5 ; 1 , 6 ]

 2



1.8.3.011. y  1  12 x  x 3

  3 ; 3  .

1.8.3.012. f ( x )  3 x 5  5 х 3  6 ,

 0 ; 2 

1.8.3.013. y  3 x 2  x 3   1 ; 3  .

1.8.3.014. y 

3 х

х 2  1

,  0 ; 5 

1.8.3.015. y  x 3  3 x 2  3 x  2

 2 ; 5  .

1.8.3.016. y 

х  6

  5 ; 5  .

х 2  13

3



1.8.3.017. f ( x ) 

x  sin x , a  0 , b 

2

2

1.8.3.018. y 

10 х

; a  0 ; b  3

1  х 2

1.8.3.019. f ( x )  x 2   16 ,

16

a  1 , b  4

x

4

1.8.3.020. f ( x )  3  x 

,

a   1 , b  2

( x  2 ) 2

Заказать задачи можно здесь.

1.8.4. Полное и сследование функции

1.8.4.1. Функции дроби

1 4

3 2

x 3

y  x  x

1.8.4.1.1

y 

1.8.4.1.2

4

2

3  x 2

x

x

y 

1.8.4.1.3

y 

1.8.4.1.4

1  x 2

3 x 2  1

x 3

y 

x 3  3 x  2

1.8.4.1.5

y 

1.8.4.1.6

x 2  3

2  x  3  2

x 3

x 3

х 2

y 

1.8.4.1.7

y    3 х  10 1.8.4.1.8

2 ( x  1 ) 2

12

2

1  x 3

y 

2 х  1

1.8.4.1.9

y 

1.8.4.1.10

x 2

( х  1 ) 2

x 3

x 3  4

y 

1.8.4.1.11

y 

1.8.4.1.12

x 2  9

x 2

2 x  1

y 

1.8.4.1.13

2

y 

1.8.4.1.14

 x  1  2

1  x 2

4 x

2 x

y 

1.8.4.1.15

y 

1.8.4.1.16

x 2  16

x 2  4

( x  2 ) 2

y 

1.8.4.1.17

6

y 

1.8.4.1.18

x 2  4

x 2  3

x 2

y 

 x  3  2

1.8.4.1.19

y 

1.8.4.1.20

x 2  9

x 2  5

3  x 2

y 

4 x 3

1.8.4.1.21

y 

1.8.4.1.22

x 2  3

3 ( x 2  1 )

x 2  6

x 2

y 

1.8.4.1.23

y 

1.8.4.1.24

x 2  1

x  5

( x  3 ) 2

3  x 2

y 

1.8.4.1.25

y 

1.8.4.1.26

x 2  9

x 2  3

( x  2 ) 2

5  x 2

y 

1.8.4.1.27

y 

1.8.4.1.28

x 2  4

x 2  5

x  1

x

y 

1.8.4.1.29

y 

1.8.4.1.30

x 2  4

x 2  3 х  2

x 3

1  x 2

y   х 2

1.8.4.1.31

y 

1.8.4.1.32

3

4  x 2

2  4 x 2

y 

2 x  1

1.8.4.1.33

y 

1.8.4.1.34

1  4 x 2

( x  1 ) 2

x  1

y 

1.8.4.1.35

x

y 

1.8.4.1.36

( x  1 ) 2

x 2  4

x 2  5 x  13

x 2  5 x  15

y 

1.8.4.1.37

y 

1.8.4.1.38

 x  1

 x  2

x 2

y 

x  1

1.8.4.1.39

y 

1.8.4.1.40

x  1

 x  1  2

( x  3 ) 2

y 

1.8.4.1.41

x

y 

1.8.4.1.42

x  2

x 2  4 x  3

1

x 2  5

y  х 2 

1.8.4.1.43

y 

1.8.4.1.44

x 2

x  3

5 x

4 x 2

y 

1.8.4.1.45

y 

1.8.4.1.46

4  x 2

x 3  1

2

x 4

y 

1.8.4.1.47

y   1  

 1 

1.8.4.1.48

x 3  1

 х 

x 2  6

x 3

y 

1.8.4.1.49

y 

1.8.4.1.50

x 2  1

x 2  х  1

4 x 3

x 2  1

y 

1.8.4.1.51

y 

1.8.4.1.52

x 3  1

x 2  1

x 2  1

y 

1.8.4.1.53

3 x  2

y 

1.8.4.1.54

x 2  1

x 3

( x  2 ) 2

4 x 3  5

y 

1.8.4.1.55

y 

1.8.4.1.56

x  1

x

2

х 3

у 

1.8.4.1.01

у   1  

 1 

1.8.4.1.02

3  х 2

 х 

4

1  x 2

у  х 

1.8.4.1.03

y 

1.8.4.1.04

х  2

4  x 2

( х  2 ) 2

х 2

у 

1.8.4.1.05

у 

1.8.4.1.06

х  1

х  1

х 2  2 х  2

х 2  1

у 

1.8.4.1.07

у 

1.8.4.1.08

х  1

х 2  1

2  4 х 2

у 

1.8.4.1.09

x

y 

1.8.4.1.010

1  4 x 2

x 2  1

x

8 x

y 

1.8.4.1.011

y 

1.8.4.1.012

x 2  9

x 2  4

3 х

x  2

у 

1.8.4.1.013

y 

1.8.4.1.014

1  х 2

x 2  4 х  5

х 2

у 

1.8.4.1.015

21  х 2

у 

1.8.4.1.016

х  5

7 х  9

х 3

у 

1.8.4.1.017

у  

 х  1  2



1.8.4.1.018

9  х 2

 х  1 

3 х  2

3 х  1

у 

1.8.4.1.019

F ( x ) 

1.8.4.1.020

х 3

х  2

х 2

у 

2 х  1

1.8.4.1.021

у 

1.8.4.1.022

4 х 2  1

( х  1 ) 2

x

х 3

у 

1.8.4.1.023

у 

1.8.4.1.024

x 2  4

2 ( х  1 ) 2

х 3  4

у 

х 4

1.8.4.1.025

у 

1.8.4.1.026

х 2

( 1  х ) 3

х 3

х 3  2 x 2  7 x  3

у 

1.8.4.1.027

у 

1.8.4.1.028

1  х 2

2 х 2

4 х 3  5

х 3  4

у 

1.8.4.1.029

у 

1.8.4.1.030

х

х 2

4

x 2  6 х  9

y 

1.8.4.1.031

у 

1.8.4.1.032

x 2  2 х  3

( х  1 ) 2

х 2  х  1

у 

1.8.4.1.033

4 х

у 

1.8.4.1.034

х  1

х 2  16

6

у 

1.8.4.1.035

у 

 х  3  2

1.8.4.1.036

х 2  3

х 2  9

2 х

( x  2 ) 2

у 

1.8.4.1.037

y 

1.8.4.1.038

х 2  4

x 2  4

х 2  1

х 2

у 

1.8.4.1.039

у 

1.8.4.1.040

х 2  1

х 2  5

2

9 х

у 

1.8.4.1.041

у 

1.8.4.1.042

1  х 2

х 2  9

3  х 2

у 

1.8.4.1.043

х

у 

1.8.4.1.044

х 2  3

х 2  1

5  х 2

х 2  6

у 

1.8.4.1.045

у 

1.8.4.1.046

х 2  5

х 2  1

х 3

у   х 2

1.8.4.1.047

1

f ( x ) 

1.8.4.1.048

3

х 2  1

Заказать задачи можно здесь.

1.8.4.2. Функции не дроби

y  x 2  2 x  3

1.8.4.2.1

y  x 3  12 x  4

1.8.4.2.2

y  3 2 ax 2  x 3

1.8.4.2.3

y  х 4  2 х 2  3

1.8.4.2.4

y  x 4  8 x 3  16 x 2 1.8.4.2.5

y  2 x  3 3 х 2

1.8.4.2.6

y   x 2  1  3

1.8.4.2.7

y  x 3  2 x 2  x

1.8.4.2.8

y  ( x 2  1 ) 3

1.8.4.2.9

у  х 3  7 х  7

1.8.4.2.01

у  х 3  7 х 2  12 х  5

1.8.4.2.02

х 3

у  х 3  3 х 2

1.8.4.2.03

f ( x )   х 2  2

1.8.4.2.04

3

у  х 4  х 3

1.8.4.2.05

у  х 3  3 х

1.8.4.2.06

1 3

у  х 2  4 х  5

1.8.4.2.07

y  x  х 2  1

1.8.4.2.08

6

y  x 3  3 х 2

1.8.4.2.09

у  3 x 3  2 х 2

1.8.4.2.010

у  2 x  3 3 x 2

1.8.4.2.011

у  6 3 ( x  2 ) 2  4 х 1.8.4.2.012

у  3 ( x  6 ) х 2

1.8.4.2.013

y  2 4 х  х 2  2 х 2  4 х

1.8.4.2.014

y  4 х  х 2  4 х 2  х

1.8.4.2.015

Заказать задачи можно здесь.

1.8.4.3. Функции с е

y  e  x 2

1.8.4.3.1

y  3 xe x

1.8.4.3.2

y  2 e  5 x  3 е  х 1.8.4.3.3

y  xe  x 2

1.8.4.3.4

y  xe x

1.8.4.3.5

y  x 3 e x

1.8.4.3.6

x  1

e 2 x  1

y 

1.8.4.3.7

y 

1.8.4.3.8

e x

e x

y  xe x

1.8.4.3.01

y  ( x 2  1 ) e  x 2

1.8.4.3.02

 

х

 х

y  2  е 4  е 4 





1.8.4.3.03

1.8.4.3.04





y  ( 4  x ) e x  3

1

y  xe x

1.8.4.3.05

1.8.4.3.06

f ( x )  x  e  x

e x  1

e 2

y 

1.8.4.3.07

y 

1.8.4.3.08

x

x

Заказать задачи можно здесь.

1.8.4.4. Функции с ln

ln x

y 

1.8.4.4.1

1.8.4.4.2

x

y  ln  x 2  1 

1 

y  ln  1  



1.8.4.4.3

ln x

y  x 

1.8.4.4.4

 x 2 

x

x

y 

1.8.4.4.5

y  ln( 2 x 2  3 )

1.8.4.4.6

ln x

y  x ln x

1.8.4.4.7

y  х  ln( x 2  4 )

1.8.4.4.8

y  ln  4  x 2 

1.8.4.4.9

y  ln( x 2  1 )

1.8.4.4.10

у  x ln x

1.8.4.4.01

у  2 x  ln x

1.8.4.4.02

1.8.4.4.03

1.8.4.4.04

у  ln( x 2  1 )

у  x 2  ln x

x

у  ln

 1

1.8.4.4.05

x  2

Заказать задачи можно здесь.

1.8.4.5. Тригонометрические функции

sin 2 x

y 

1.8.4.5.1

y  cos 2 x

1.8.4.5.2

2  sin x

y  3 sin x  4 cos x 1.8.4.5.3

y  cos 2 x

1.8.4.5.01

у  3 sin x  4 cos x 1.8.4.5.02

у  sin 4 x  3 cos 4 x 1.8.4.5.03

y  arctgx6

1.8.4.5.04

1

у 

1.8.4.5.05

(sin x  cos x ) 2

Заказать задачи можно здесь.

1.8.4.6. Функции с модулем

у  х ( х  1 )  х

1.8.4.6.01

у  х 2  6 х  5

1.8.4.6.02

x

у 

1.8.4.6.03

( х  1 ) 2

Заказать задачи можно здесь.