1.7 Производные
Решены задачи для таких учебных заведений: НАУ, КНУБА, ГЭТУТ, КИБИТ, КНУКиИ,
НУГНСУ, ПУПКУ, СГУ, ЖГТУ, ЖГАЕУ, ЕУ, Кемт, Жтк, Бк, КорТеК и др.
Термины по теме на украинском языке:
похідна, похідна суми, похідна добутку, похідна частки, похідна степені, диференціювання, похідна
функції, вираженої неявно, неявна функція, похідна функції, вираженої параметрично, похідна
показниково - степеневої функції, логарифмічне диференціювання, диференціал, наближені
обчислення, застосування похідних, продуктивність праці , попит , максимальну швидкість руху тіла,
сила струму , рівняння дотичної прямої і нормалі до графіку функції, кривина в заданій точці ,
рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці .
Для удобства поиска нужного примера, все производные сгруппированы не по способу
решения, а по ©внешнему видуª по таким категориям:
1.7.1. Производные (1.7.1.1. Производная суммы , 1.7.1.2. Производная произведения , 1.7.1.3.
Производная частного , 1.7.1.4. Производная степени , 1.7.1.5. Производные с иррациональностями ,
1.7.1.6. Производная показательной функции , 1.7.1.7 . Производная функции с е , 1.7.1.8.
Производная функции с ln , 1.7.1.9 . Производная тригонометрических функций , 1.7.1.10.
Производная обратніх тригонометрических функций )
1.7.2. Производные функций, выраженных неявно (1.7.2.1 Производная не
тригонометрических функций , 1.7.2.2. Производная тригонометрических функций )
1.7.3. Производные функций, выраженных параметрически (1.7.3.1 Производная не
тригонометрических функций, 1.7.3.2. Производная тригонометрических функций)
1.7.4. Производные степенно - показательных функций (1.7.4.1 Производная не
тригонометрических функций, 1.7. 4 .2. Производная тригонометрических функций)
1.7.5 . Применение производных (1.7.5.1 Задачи на применение производных, 1.7.5.2
Приближённые вычисления)
1.7.1. Производные
1.7.1.1. Производнаɹ суммы
5
y 3 x 4
9 3 x 2 1 ;
1.7.1.1.01
y arcsin x 1 x
1.7.1.1.02
3 x 3
1
5
y tg 3 x tgx x
1.7.1.1.03
у 4 х 2
10 5 х 4
1.7.1.1.04
3
6 х 6
3
1
1
у 4 х 2 5 5 х 3
1.7.1.1.05
y x
1.7.1.1.06
x 2
x 2
5 x 5
x
2
y xarctg ln x 2
1.7.1.1.07
y 2 x 3
3 3 x 2 ;
1.7.1.1.08
2
3 x 6
3
4
2
у х 2 3 3 х 2
1.7.1.1.09
у
1
2 х 3 х 2  
1.7.1.1.010
x 3
5 х 3
х
8
7
у хаrctg 4 ln( x 2 24 )
1.7.1.1.011
y
8 х 3 х 2 ;
1.7.1.1.012
x
( х 1 ) 3
e x 1 1
1
y 2 e x 1 ln
1.7.1.1.013
у 2 х 5
4 4 х
1.7.1.1.014
e x 1 1
3 х 3
2
4
у 3 х 5
6 3 х 2
1.7.1.1.015
у х 2 3 3 х 2
1.7.1.1.016
3 х 2
x 3
1
y x 2 1 3 x 3 1
1.7.1.1.017
у 5 х 2 2 х
1.7.1.1.018
x
1
2
у х 5
4 х 3
1.7.1.1.019
у 2 х 2
3 3 х 2
1.7.1.1.020
2 x 2
3 x 6
2
3
у 5 х 6 5 х
1.7.1.1.021
7
y 3 ( 2 x 2 3 х 5 ) 2
1.7.1.1.022
x 3
х
( х 2 3 х 2 ) 3
2
4
у 3 x 4 3 х 5
1.7.1.1.023
5
y ( х 4 ) 5
1.7.1.1.024
x
x 2
( 2 х 2 4 х 1 ) 2
3
2
2
y
ln tgx
1.7.1.1.025
1 x 1
y arccos
1.7.1.1.026
ctgx 1
 
x
x
3
2
у 5 x 2 4 х 3
1.7.1.1.027
y x 4 sin x 3 cos x ln x 29
1.7.1.1.028
x
х 4
2
x
y arccos
x 2 2
1.7.1.1.029
x
2
Заказать задачи можно здесь.
1.7.1.2 . Производнаɹ произведениɹ
x 1
y x 2 х arcsin x 1 x 2
1.7.1.2.01
y x 3 ( 3 ln х 1 )
1.7.1.2.02
e x
2 ln x 1
y е 5 х ( 5 х 1 )
1.7.1.2.03
y x (ln х 1 ) е 3 х ( 3 х 1 )
1.7.1.2.04
x 2
y ( x 3 1 ) ln( x 1 )
1.7.1.2.05
x 3
y 4
ln( 5 x 2 2 x 1 )
1.7.1.2.06
x 3
y 2 x e x
1.7.1.2.07
y e x 2 ln x
1.7.1.2.08
y e 2 x x 3 1
1.7.1.2.09
y e x tg 3 x
1.7.1.2.010
y sin 2 x sin x 2
1.7.1.2.011
y x 2 arcsin x
1.7.1.2.012
x
y xarctg ln x 2
1.7.1.2.013
y ( x е х ) arcsin x
1.7.1.2.014
2
8
у хаrctg 4 ln( x 2 24 )
1.7.1.2.015
y 5 x 2 arcsin x
1.7.1.2.016
x
y 5 2 х tg 2 x
1.7.1.2.017
y ( х 3 ) arcsin( x 3 )
1.7.1.2.018
y x е х sin 2 x
1.7.1.2.019
y tg 4 х arcsin 4 x 5
1.7.1.2.020
y e x 2 5 x 7 2 x
1.7.1.2.021
y x 3 e 2 x
1.7.1.2.022
f ( x ) ( 5 x 3 3 )( 6 x 2 1 )
1.7.1.2.023
f ( x ) ( x 2 3 ) x 2 3
1.7.1.2.024
Заказать задачи можно здесь.
1.7.1.3 . Производнаɹ частного
x 1
y x 3 ( 3 ln х 1 )
1.7.1.3.01
y ln
х 1 2
3 х 3 x
1.7.1.3.02
e x
х 3
y ln
х 1 2
4 4 x 3
1.7.1.3.03
2 ln x 1
y е 5 х ( 5 х 1 )
1.7.1.3.04
х 2
x 2
arctgx
y
;
1.7.1.3.05
x 3
y 4
ln( 5 x 2 2 x 1 )
1.7.1.3.06
1 x 2
x 3
x
sin 2 x
y
;
1.7.1.3.07
y
1.7.1.3.08
a 2 x 2
2 3 cos 2 x
x
х 2 2
y
1.7.1.3.09
у
1.7.1.3.010
x 1
2 1 х 4
e x
y
tg ( x 2 )
1.7.1.3.011
y
1.7.1.3.012
( 2 x 1 ) 2
x 2
x 2
e 4 x
y
;
1.7.1.3.013
y ln
1.7.1.3.014
2 1 3 x 4
e 4 x 1
cos x
sin( x 3 )
y
;
1.7.1.3.015
y
;
1.7.1.3.016
x sin x
( x 3 )
х 2 2
2 ln x 1
у
1.7.1.3.017
y
1.7.1.3.018
2 1 х 4
x 2
х 1
x 2
y ln
1.7.1.3.019
y
1.7.1.3.020
х 1
arctgx
ln( x 2 )
y
1.7.1.3.021
e x 1 1
y 2 e x 1 ln
1.7.1.3.022
x 2
e x 1 1
arccos x
sin 2 x
y
1.7.1.3.023
y
1.7.1.3.024
x 3 1
x cos 2 x
x 2
4 х 1
y
1.7.1.3.025
у
1.7.1.3.026
ln( x 2 )
х 2 16 х 2
3 x 2
sin 2 x
y ln 3
1.7.1.3.027
y
1.7.1.3.028
x 3 9 x
ln( 2 x 1 )
x 3
e
x 2 3 x 1
y
1.7.1.3.029
f ( x )
1.7.1.3.030
x 2 5 x 1
x 2 1
Заказать задачи можно здесь.
1.7.1.4 . Производнаɹ степени
y е sin x 3 x 3
1.7.1.4.01
y 5 tg 2 x 3 4
1.7.1.4.02
7
5
2 7
y 3 x 4
9 3 x 2 1 ;
1.7.1.4.03
x 6 7 x 3 2
1.7.1.4.04
3 x 3
3
3
2
у
1
2 х 3 х 2  
1.7.1.4.05
1.7.1.4.06
5 х 3
х
y 4 x 2 1 2
3
2
1 x 1
y arccos
1.7.1.4.07
x
x
Заказать задачи можно здесь.
1.7.1.5 . Производные с иррациональностɹми
3 x
y x 2 1 3 x 3 1
1.7.1.5.01
y arctg
1.7.1.5.02
x 2
x 2
y ln
3 x 3 x
1.7.1.5.03
y x 2 х arcsin x 1 x 2
1.7.1.5.04
x 1
x 2
y ln
х 1 2
3 3 x 2
1.7.1.5.05
y ln
4 x 4 x
1.7.1.5.06
х 2
x 1
y ln
х 1 2
3 х 3 x
1.7.1.5.07
y ln
х 1 2
4 4 x 3
1.7.1.5.08
х 3
х 2
5
y 3 x 4
9 3 x 2 1 ;
1.7.1.5.09
y arcsin
x 1 x
1.7.1.5.010
3 x 3
7
2 7
x 3
x 6 7 x 3 2
1.7.1.5.011
y 4
ln( 5 x 2 2 x 1 )
1.7.1.5.012
3
x 3
1
x
y 5 5 x 2 х
1.7.1.5.013
y
;
1.7.1.5.014
х
a 2 x 2
х 2 2
5
у
1.7.1.5.015
у 4 х 2
10 5 х 4
1.7.1.5.016
2 1 х 4
6 х 6
3
y ln x 2 5
1.7.1.5.017
у 4 х 2 5 5 х 3
1.7.1.5.018
x 2
x 2
1
1
y
;
1.7.1.5.019
y x
1.7.1.5.020
2 1 3 x 4
x 2
5 x 5
e 4 x
y 1 sin 2 x
1.7.1.5.021
y ln
1.7.1.5.022
e 4 x 1
2
4
y 2 x 3
3 3 x 2 ;
1.7.1.5.023
у х 2 3 3 х 2
1.7.1.5.024
3 x 6
x 3
3
2
у
1
2 х 3 х 2  
1.7.1.5.025
8
у хаrctg 4 ln( x 2 24 )
1.7.1.5.026
5 х 3
х
x
х 2 2
х 1
у
1.7.1.5.027
y ln
1.7.1.5.028
2 1 х 4
х 1
7
e x 1 1
y
8 х 3 х 2 ;
1.7.1.5.029
y 2 e x 1 ln
1.7.1.5.030
( х 1 ) 3
e x 1 1
1
y tg 3 arcsin x 1 x 1.7.1.5.031
у 2 х 5
4 4 х
1.7.1.5.032
3 х 3
2
4
у 3 х 5
2
6 3 х 2
1.7.1.5.033
у х 2 3 3 х 2
1.7.1.5.034
3
3 х
x
1
y x 2 1 3 x 3 1
1.7.1.5.035
у 5 х 2 2 х
1.7.1.5.036
x
1
2
у х 5
2
4 х 3
1.7.1.5.037
у 2 х 2
6
3 3 х 2
1.7.1.5.038
2 x
3 x
4 х 1
у
1.7.1.5.039
у arcsin 1 4 x 2
1.7.1.5.040
х 2 16 х 2
3 x 2
y ln 3
2
1.7.1.5.041
3
у
5 х 6   5 х 1.7.1.5.042
x 3 9 x
3
x
х
7
2
y 3 ( 2 x 2 3 х 5 ) 2
1.7.1.5.043
4
у 3 x 4 3 х 5
1.7.1.5.044
2
x
2
( х 3 х 2 ) 3
x
x 3
e
5
y ( х 4 ) 5
1.7.1.5.045
y
1.7.1.5.046
( 2 х 4 х 1 ) 2
2
x 2 5 x 1
3
2
1 x 1
4 x 1
y arccos
1.7.1.5.047
у
1.7.1.5.048
x
x
4 x 2 2 x
3
2
2
y 3 ( х 3 ) 4
1.7.1.5.049
y 4 x 2 4 arcsin
1.7.1.5.050
2 х 3 3 х 1
x
f ( x ) x 3 4 x 3 3 x 2
1.7.1.5.051
Заказать задачи можно здесь.
1.7.1.6 . Производнаɹ показательной функции
1
arcsin
y 2 arctgx x 2
1.7.1.6.01
y 2
x
1.7.1.6.02
y 5 arcsin х 2
1.7.1.6.03
y 5 tg 2 x 3 4
1.7.1.6.04
4
sin
3 1
y 2 sin x
1.7.1.6.05
y 2
x
1.7.1.6.06
3
arctg
y 4
х
1.7.1.6.07
y 3 cos 2 4 x
1.7.1.6.08
y 2 x e x
1.7.1.6.09
y 5 x 2 arcsin x
1.7.1.6.010
2 x
y
1.7.1.6.011
y 5 2 х tg 2 x
1.7.1.6.012
arctgx
f ( x ) 5 2 x 3
1.7.1.6.013
Заказать задачи можно здесь.
1.7.1.7 . Производнаɹ функции с е
y xtgx ln cos x e 5 x
1.7.1.7.01
y 2 8 e x arcsin x
1.7.1.7.02
x 1
y е sin x 3 x 3
1.7.1.7.03
y x 3 ( 3 ln х 1 )
1.7.1.7.04
e x
2 ln x 1
y е 5 х ( 5 х 1 )
1.7.1.7.05
y x (ln х 1 ) е 3 х ( 3 х 1 )
1.7.1.7.06
x 2
y e sin 5 x
1.7.1.7.07
у e arcsin 2 x
1.7.1.7.08
y 2 x e x
1.7.1.7.09
y e x 2 ln x
1.7.1.7.010
e x
y
1.7.1.7.011
1.7.1.7.012
( 2 x 1 ) 2
y e 2 x x 3 1
e 4 x
y e x tg 3 x
1.7.1.7.013
y ln
1.7.1.7.014
e 4 x 1
y arcsin e 3 x
1.7.1.7.015
y ( x е х ) arcsin x
1.7.1.7.016
e x 1 1
y 2 e x 1 ln
1.7.1.7.017
y e 3 x sin 3 x
1.7.1.7.018
e x 1 1
x 3
e
y x е х sin 2 x
1.7.1.7.019
y
1.7.1.7.020
x 2 5 x 1
y x 3 e 2 x
1.7.1.7.021
y e x 2 5 x 7 2 x
1.7.1.7.022
e x 1
f ( x )
1.7.1.7.023
1.7.1.7.024
e x 1
y е cos x 3 2
Заказать задачи можно здесь.
1.7.1.8 . Производнаɹ функции с ln
x 2
y xtgx ln cos x e 5 x
1.7.1.8.01
y ln
3 x 3 x
1.7.1.8.02
x 1
x 2
y ln
х 1 2
3 3 x 2
1.7.1.8.03
y ln
4 x 4 x
1.7.1.8.04
х 2
x 1
x 1
y x 3 ( 3 ln х 1 )
1.7.1.8.05
y ln
х 1 2
3 х 3 x
1.7.1.8.06
e x
х 3
y ln
х 1 2
4 4 x 3
1.7.1.8.07
2 ln x 1
y е 5 х ( 5 х 1 )
1.7.1.8.08
х 2
x 2
y x (ln х 1 ) е 3 х ( 3 х 1 )
1.7.1.8.09
y ( x 3 1 ) ln( x 1 )
1.7.1.8.010
x 3
y 4
ln( 5 x 2 2 x 1 )
1.7.1.8.011
y e x 2 ln x
1.7.1.8.012
x 3
e 4 x
y ln x 2 5
1.7.1.8.013
y ln
1.7.1.8.014
e 4 x 1
x
y xarctg ln x 2
1.7.1.8.015
y ln tg 2 x
1.7.1.8.016
2
8
2 ln x 1
у хаrctg 4 ln( x 2 24 )
1.7.1.8.017
y
1.7.1.8.018
x
x 2
х 1
ln( x 2 )
y ln
1.7.1.8.019
y
1.7.1.8.020
х 1
x 2
1 ln( x 2 )
x 2
у
1.7.1.8.021
y
1.7.1.8.022
( x 2 ) 2
ln( x 2 )
3 x 2
sin 2 x
y ln 3
1.7.1.8.023
y
1.7.1.8.024
x 3 9 x
ln( 2 x 1 )
2
y
ln tgx
1.7.1.8.025
1.7.1.8.026
ctgx 1
y 2 x ln 1 1 e 4 x
x 1 1
x ln x
5
y ln
1.7.1.8.027
y
1.7.1.8.028
x 1 1
x 1
x 2
x 2 6
y ln sin 2 ( 2 x 5 )
1.7.1.8.029
f ( x ) ln
1.7.1.8.030
x 2 6
Заказать задачи можно здесь.
1.7.1.9 . Производнаɹ тригонометрических функций
4
y е sin x 3 x 3
1.7.1.9.01
y 2 sin x
1.7.1.9.02
sin
3 1
y 2
x
1.7.1.9.03
y 3 cos 2 4 x
1.7.1.9.04
sin 2 x
y e sin 5 x
1.7.1.9.05
y
1.7.1.9.06
2 3 cos 2 x
y sin 2 x sin x 2
1.7.1.9.07
y 1 sin 2 x
1.7.1.9.08
cos x
sin( x 3 )
y
;
1.7.1.9.09
y
;
1.7.1.9.010
x sin x
( x 3 )
y 3 sin 2 x sin 3 x
1.7.1.9.011
y sin( x 2 2 )
1.7.1.9.012
y 5 2 х tg 2 x
1.7.1.9.013
y e 3 x sin 3 x
1.7.1.9.014
sin 2 x
y
1.7.1.9.015
1.7.1.9.016
x cos 2 x
y x е х sin 2 x
sin 2 x
y
1.7.1.9.017
f ( x ) cos( 3 x 2 1 )
1.7.1.9.018
ln( 2 x 1 )
f ( x ) 2 sin x ( 1 cos x )
1.7.1.9.019
f ( x ) 3 sin 2 x
1.7.1.9.020
1
y tg 3 x tgx x
1.7.1.9.021
y xtgx ln cos x e 5 x
1.7.1.9.022
3
1
1
y 5 tg 2 x 3 4
1.7.1.9.023
y tg 2
ln cos x
1.7.1.9.024
2
x
tg ( x 2 )
y
1.7.1.9.025
y e x tg 3 x
1.7.1.9.026
x 2
y ln tg 2 x
1.7.1.9.027
y tg 4 х arcsin 4 x 5
1.7.1.9.028
2
y
ln tgx
1.7.1.9.029
f ( x ) sin 2 x tgx
1.7.1.9.030
ctgx 1
Заказать задачи можно здесь.
1.7.1.10 . Производнаɹ обратных тригонометрических функций
3 x
y arctg
1.7.1.10.01
y 2 8 e x arcsin x
1.7.1.10.02
x 2
y 2 arctgx x 2
1.7.1.10.03
y x 2 х arcsin x 1 x 2
1.7.1.10.04
1
arcsin
y 2
x
1.7.1.10.05
y 5 arcsin х 2
1.7.1.10.06
3
arctg
arctgx
y 4
х
1.7.1.10.07
y
;
1.7.1.10.08
1 x 2
y arcsin
x 1 x
1.7.1.10.09
у e arcsin 2 x
1.7.1.10.010
x
y x 2 arcsin x
1.7.1.10.011
y xarctg ln x 2
1.7.1.10.012
2
y arcsin e 3 x
1.7.1.10.013
y ( x е х ) arcsin x
1.7.1.10.014
y arctg ( x 2 1 )
1.7.1.10.015
y 5 x 2 arcsin x
1.7.1.10.016
x 2
y
1.7.1.10.017
arctgx
y tg 3 arcsin x 1 x 1.7.1.10.018
2 x
arccos x
y
1.7.1.10.019
y
1.7.1.10.020
arctgx
x 3 1
y ( х 3 ) arcsin( x 3 )
1.7.1.10.021
у arcsin 1 4 x 2
1.7.1.10.022
2
1 x 1
3
y tg 4 х arcsin 4 x 5
1.7.1.10.023
y arccos
 
1.7.1.10.024
x
x
1
3 x 1
y arctg
1.7.1.10.025
y arctg x
1.7.1.10.026
2
2
2
x
y arccos
x 2 2 1.7.1.10.027
3 x
y arctg
1.7.1.10.028
x
2
x 2
Заказать задачи можно здесь.
1.7.2 . Производные функций, выраженных неɹвно
1.7.2.1 . Производнаɹ не тригонометрических функций
x 2 y 2 25 0
1.7.2.1.1
x 4 х 2 у 6 хy 2 8 у 3 0 1.7.2.1.2
3
x у 3 3 ху 0
3
x 2 xy y 2 3
1.7.2.1.3
1.7.2.1.4
2
2
x y 2 ху 1 0
3 3
5 x y 7 у 1 0
1.7.2.1.5
1.7.2.1.6
x y 3 3 ху 0
3
x y 2 ху 3 0
3 3
1.7.2.1.7
1.7.2.1.8
4 x y 5 ху 3 х 0
2 2
x y 2 ху 0
2
1.7.2.1.9
1.7.2.1.10
аx by 3 ху
3
2 ху 5 х 2 y 2 3 у 2 0
4
1.7.2.1.11
1.7.2.1.12
x 2 х 2 у 2 5 х y 5 a
3
1.7.2.1.13
y 3 3 y 2 ay 0
1.7.2.1.14
y
x 2
y 2
1
1.7.2.1.15
y 2 x e x
1.7.2.1.16
5
7
x
e х 2 e y 0
1.7.2.1.17
( e x 1 )( e y 1 ) 1 0
1.7.2.1.18
x
x 3 y 3 2 xy 3 0
1.7.2.1.01
xy 2 0
1.7.2.1.02
y
5 x 2 y 2 7 y 4 0
1.7.2.1.03
x 3 y 3 2 xy 1 0
1.7.2.1.04
x 2 ху y 2 3
1.7.2.1.05
x 3 y 3 3 xy 0
1.7.2.1.06
x 2 y 2 xy 0
1.7.2.1.07
x 4 y 4 x 2 y 2
1.7.2.1.08
x y e x y
1.7.2.1.09
( e x 1 )( e y 1 ) 1 0
1.7.2.1.010
2 xy 4 5 x 2 y 2 3 y 2 0
1.7.2.1.011
ax 3 by 3 xy
1.7.2.1.012
e x x 2 e y 0
1.7.2.1.013
Заказать задачи можно здесь.
1.7.2.2 . Производнаɹ тригонометрических функций
cos( xy 2 ) 3 y 2 4 x 0
1.7.2.2.1
sin( xy 2 ) y 3 5 x 3
1.7.2.2.2
y x x sin y
1.7.2.2.3
tgy хy 2 0
1.7.2.2.4
y sin x cos( x y )
1.7.2.2.5
x 2 y 2 cos x 0
1.7.2.2.6
7
cos( xy ) 2 x 0
1.7.2.2.7
sin y 3 ху
1.7.2.2.8
х
y sin x cos( x y ) 0
1.7.2.2.9
cos( x y ) 2 x 3 у
1.7.2.2.10
tg х 4 y 5 2 0
1.7.2.2.11
cos( bxy ) ax
1.7.2.2.12
sin y xy 2 5
1.7.2.2.13
cos( xy ) x 0
1.7.2.2.14
tgy 4 y 5 x
1.7.2.2.15
y 2 cos x a 2 sin 3 x
1.7.2.2.16
y
x
arctg
1.7.2.2.17
x y arctg y 0
1.7.2.2.18
x
y
2 ln( y x ) sin xy 0
1.7.2.2.19
х y e y arctgx 0
1.7.2.2.20
x y e y arctgx 0
1.7.2.2.01
x 2 y 2 cos x 0
1.7.2.2.02
cos( xy ) 2 x 0
1.7.2.2.03
1.7.2.2.04
tgy xy 2 0
x y e y arcctgx 0
1.7.2.2.05
y sin x cos( x y )
1.7.2.2.06
y ctg ( xy )
1.7.2.2.07
3 y sin( x y )
1.7.2.2.08
Заказать задачи можно здесь.
1.7.3. Производные функций, выраженных параметрически
1.7.3.1. Производнаɹ не тригонометрических функций
x 3 t t 3
x ln t
1.7.3.1.1
1 1
1.7.3.1.2
y 3 t 2
y t
2 t
 x ln( 1 t 2 )
 x t 2 е t
1.7.3.1.3
1.7.3.1.4
y t 2
y t 3 e 2 t
 х 3 e t ;
1.7.3.1.01
y ( 2 e t ) 3 ;
Заказать задачи можно здесь.
1.7.3.2 . Производнаɹ тригонометрических функций
x a cos t
x 3 ( t sin t )
1.7.3.2.1
1.7.3.2.2
y b sin t
y 3 ( 1 cos t )
x a (sin t t cos t )
x ctgt
1.7.3.2.3
1.7.3.2.4
y a (cos t t sin t )
y sec 2 t
 x cos 2 t
x e t
1.7.3.2.5
1.7.3.2.6
y tg 2 t
y arcsin t
x arcsin t
x e t cos t
1.7.3.2.7
1.7.3.2.8
y 1 t 2
y e t sin t
x e t
x e 2 t
1.7.3.2.9
1.7.3.2.10
y arcsin t
y cos t
х t ln cos t
х t ln cos t
1.7.3.2.11
1.7.3.2.12
y t ln sin t
y t ln t
x sin t t cos t ;
х асost
1.7.3.2.01
1.7.3.2.02
y cos t t sin t
y b sin t
 х e t cos t ;
 х 6 сos 3 t
1.7.3.2.03
1.7.3.2.04
y e t sin t ;
y 2 sin 3 t
х аrctg ( 1 t ) 2
 х sin 2 ( 1 4 t )
1.7.3.2.05
1.7.3.2.06
y t 2 2 t 2
y cos 2 ( 1 4 t )
t
х cos
 х 3 cos 2 t ,
2
1.7.3.1.07
1.7.3.1.08
  t sin t
y 2 sin 3 t .
y
Заказать задачи можно здесь.
1.7.4. Производные степенно - показательных функций
1.7.4.1. Производнаɹ не тригонометрических функций
2
y х х
1.7.4.1.1
y 3 х х
1.7.4.1.2
2
y ( x x 2 ) x
1.7.4.1.3
y ( x 1 ) х
1.7.4.1.4
y ln x x
1.7.4.1.01
Заказать задачи можно здесь.
1.7.4.2. Производнаɹ тригонометрических функций
y x tgx
1.7.4.2.1
y ( ctgx ) sec x
1.7.4.2.2
y ( x sin x ) x 2
1.7.4.2.3
y ( x 8 1 ) thx
1.7.4.2.4
y ( ctgx ) tgx
1.7.4.2.5
y ctgx ( 9 x 1 ) ( 6 x ) 2 x
1.7.4.2.6
y x cos x
1.7.4.2.7
y (sin x ) cos x
1.7.4.2.8
y x sin x
1.7.4.2.9
y (cos x ) x 2
1.7.4.2.10
y (cos x ) sin x
1.7.4.2.11
y x arcsin x
1.7.4.2.12
y x e arctgx
1.7.4.2.13
y ( arctgx ) ln x
1.7.4.2.14
y (arccos x ) x 2
1.7.4.2.15
y ( arctgx) x
1.7.4.2.16
y x ln x
1.7.4.2.17
y ( tgx ) ln( x 1 )
1.7.4.2.18
y ( arctgx ) ln x
1.7.4.2.19
y cos x x 2
1.7.4.2.01
y ( arctgx ) ln x
1.7.4.2.02
y (ln x ) sin x
1.7.4.2.03
y cos 7 x tg 8 x
1.7.4.2.04
y х sin x
1.7.4.2.05
y х сos 3 x
1.7.4.2.06
y x cos z
1.7.4.2.07
y sin x 5 e x
1.7.4.2.08
у ( х sin x ) x 2
1.7.4.2.09
у (arcsin x ) x
1.7.4.2.010
x
y sin 2 x x
1.7.4.2.011
у (arcsin x ) 2
1.7.4.2.012
y ( arctgx ) x
1.7.4.2.013
y cos x x 2
1.7.4.2.014
Заказать задачи можно здесь.
1.7.5. Применение производных
1.7.5.1. Задачи на применение производных
1.7.5.1.01. Каковы радиус основания R и высота H открытого цилиндрического бака заданого
объёма V , чтобы на его изготовления пошло наименьшее количество листового металла ?
1.7.5.1.02. Сечение туннеля имеет форму прямоугольника, ограниченого сверху полукругом.
Периметр сечения 18 м. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей ?
1.7.5.1.03. Найти стороны прямоугольника з наибольшей площадью , какой можно вписать в
х 2
у 2
эллипс
1 .
25
9
1.7.5.1.04. Найти наименьший объём цилиндра, полная поверхность которого равна S .
1.7.5.1.05. Найти наибольший объём конуса, образующая которого равна L .
1.7.5.1.06. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном о объёмом 32 м так,
3
чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала .
1.7.5.1.07. Сумма двух положительных чисел д равна а . Какие это числа, если сумма их кубов
будет наименьшей ?
1.7.5.1.08. Два коридора шириной 2,4 м и 1,6 м пересекаются под прямым углом . Определить
наибольшую длину лестницы, которую можно перенести горизонтально с одного коридора в другой .
1.7.5.1.09. На параболе y x 2 найти точку, что наименьше отдалена от прямой y 2 x 4 .
1.7.5.1.010. Со всех прямоугольников, вписанных в круг радиуса R , найти тот , который имеет
наибольшую площадь .
1.7.5.1.011. Доказать , что на изготовление шатра конической формы с заданым объёмом
пойдёт наименьшее количество материала в том случае , если его высота в 2 разов більше за
радиус основания.
1.7.5.1.012. Найти такое положительное число, чтобы разность между ним и его кубом была
наименьшей .
1.7.5.1.013. Объём продукции, изготовленной предприятием за время t ( час. ) на протяжении
1 3
3 2
рабочего дня, задаётся формулой q 60 t t 20 t ,
0 t 8 . Через сколько часов после
6
2
начала работы продуктивность труда w будет максимальной и чему она равна ?
1.7.5.1.014. Зависимость между спросом d на некоторый товар и ценой р за единицу этого
товара задаётся формулой d = 50 -10 p. Определить, при каких значениях р спрос будет эластичным.
1 4
1.7.5.1.015. Точка движется прямолинейно за законом S t 4 t 3 32 ( S – в метрах, t – в
4
секундах). Найти максимальную скорость движения тела.
1.7.5.1.016. Количество электричества , что протекает через проводник за t секунд, выражается
формулой Q 3 t 3 2 t 2 1 ( K ). Найти силу тока в конце 4 - й секунды .
1.7.5.1.017. Количество электричества, что протекает через проводник, выражается формулой
Q 5 t 4 3 t 3 10 t ( K л ). Найти силу тока в конце первой секунды .
1.7.5.1.018. Найти момент времени, когда скорость прямолинейного движения равна нулю
при условии , что точка движется за законом s 2 t 3 4 t 2 7 .
1.7.5.1.019. Составить уравнение касательной прямой и нормали к графику функции, а также
их кривизну в заданой точке
y 2 x 2 3 x 1 ,
x 0 2
1.7.5.1.020. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в заданой точке
2 ( x 8 2 )
y
,
x 0 1
3 ( x 4 1 )
Заказать задачи можно здесь.
1.7.5.2. Приближɺнные вычислениɹ
1.7.5.2.01. Вычислить значения n a , заменив в точке х = х 0 приращение функции у n х
диференциалом.
n = 3;
а = 502;
х 0 = 512
1.7.5.2.02. n = 4;
а = 267;
х 0 = 256.
1.7.5.2.03. n = 5;
а = 234;
х 0 = 243.
1.7.5.2.04. n = 6;
а = 685;
х 0 = 729.
1.7.5.2.05. n = 7;
а = 142;
х 0 = 128.
1.7.5.2.06. n = 3;
а = 349;
х 0 = 343.
1.7.5.2.07. n = 4;
а = 605;
х 0 = 625
1.7.5.2.08. n = 5;
а = 255;
х 0 = 243.
1.7.5.2.09. n = 6;
а = 773;
х 0 = 729.
1.7.5.2.010. n = 7;
а = 156;
х 0 = 128.
1.7.5.2.011. Для заданой функции : а) найти её диференциал; б) найти приближённое значение
x 5 x 2
функции в точке х 0
y
;
х 0 = 0,96.
2
1.7.5.2.012. Шар радиуса R =5 см был нагрет, вследствие чего его объём увеличился на 12
3
см . Найти приближённое увеличение радиуса шара .
1.7.5.2.013. С помощью дифференциала вычислить y 2 x 3 5 x 2 7 x 1 при х = 0,894.
1.7.5.2.014. у ( 1 , 97 ) 2 5
1.7.5.2.015. у 5 ( 1 , 03 ) 2
1.7.5.2.016. y arcsin 0 , 08
1.7.5.2.017. у 3 27 , 34
1.7.5.2.018. Определить количество действительных корней уравнения f ( x ) 0 , отделить эти
корни , и , используя метод хорд и касательных, найти их приближённое значение с точностью 0,01
x 3 x 3 0
1.7.5.2.019.
x 3 7 x 9 0
Заказать задачи можно здесь.