1.5 Векторы

Решены задачи для таких учебных заведений: НАУ, КНУБА, ГЭТУТ, КИБИТ,

КНУКиИ, НУГНСУ, ПУПКУ, СГУ, ЖГТУ, ЖГАЕУ, ЕУ, Кемт, Жтк, Бк, КорТеК и др.

Термины по теме на украинском языке:

вектор, модуль вектора , скалярний добуток векторів, векторний добуток векторів ,

прекцію вектора на вектор, система орт , кут між векторами , довжина вектора , кут,

утворений векторами , направляючі косинуси вектора,

напрямні косинуси вектора ,

пронормувати вектор , проекції на координатні осі , базис , координати вектора в базисі ,

одиничний вектор, площа паралелограма, побудованого на векторах, об’єм

паралелепіпеда, побудованого на векторах , базис тривимірного простору,

базис простору

цих трьохвимірних векторів, розкласти вектор .

1.5.1. Задачи на векторы

1.5.1.01. За координатами точек А , В и С для указаніх векторов найти:



1) модуль вектора à ;

 

2) скалярное произведение векторов à и b ;





3) проэкцию вектора c на вектор d .

А (3, 4, -4),

В (-2, 1, 2), С (2, -3, 1)







a  5 CB  4 AC ; b  BA ; c  BA ; d  AC

1.5.1.02. Даны координаты точек А, В, С . Нужно :

1) записать векторы АВ и АС в системе орт и найти модули этих векторов;

2) найти угол между векторами АВ и АС ;

3)

составить уравнение плоскости , что проходит через точку С перпендикулярно

вектору АВ .

А (7; -4; 1), В (12; -3; 1), С (10; 1; 5)





1.5.1.03. Даны векторы а , b . Найти:









1. Скалярное произведение векторов a  2 b и 3 a  2 b ;







2. Векторное произведение векторов a  b и 3 b





а = (4; 4; 12), b = (7; 0; 4)

1.5.1.04. Заданы координаты точек А 1 (-2; 0; -2), А 2 (-1; 1; 1), А 3 (2; 2; 0), А 4 (0; -2; 2) ,

В (3; 8; 5).

а) Найти объём пирамиды А 1 А 2 А 3 А 4 и площадь грани А 1 А 2 А 4 .

б) Найти объём паралелепипеда, построенного на векторах А 1 А 2 , А 1 А 3 , А 1 А 4 . Найти

такие координаты точки А 4 , при которых паралелепипед превращается на прямой.

в) Найти длину вектора А ₁ В и разложить его за векторами А 1 А 2 , А 1 А 3 , А 1 А 4 , если это

возможно. Найти угол , образованный векторами А 1 А 2 и А 1 А 3 , а также длину большей

диагонали параллелограма, построенного на этих векторах .

 

1.5.1.05. Даны векторы а 1 (2,- 1,3) и а 2 (2,-5,3). Найти: пр  а   2 а  ( 3 а 1  а 2 ) и

1

2

 

[ 2 a  a , a ] .

2

1

2

1.5.1.06. Заданы вершины треугольника А ( х А , у А , z A ), B ( х B , у B , z B ), C ( х C , у C , z c ).

Найти длину вектора АВ , его направные косинусы, пронормировать даный вектор ; найти

проекции на координатные оси векторов АВ + BС , АВ - BС и угол при вершине В .

А (3; -2; 1), В (-4; -3; 5), С (-2; 3; 1)

1.5.1.07. Задано координаты точек А, В, С . Используя методы векторной алгебри,

найти:

1) скалярное произведение АВ  АС ;

2) найти угол между рёбрами АВ и АС ;

3) Проэкцию вектора АВ на вектор АС ;

4) Направные косинусы вектора АВ

А (2; 1; 2), В (-3; 2; 7), С (-4; 0; 0)







1.5.1.08. Дано векторы p  ( 2 ; 0 ; 3 ) , q  (  1 ; 2 ; 1 ) , r  ( 1 ; 1 ;  1 ) . Доказать , что они

образуют базис. Найти:



а) координаты вектора à  (  1 ; 7 ;  4 ) в этом базисе ;



 



б) единичный вектор ñ , который ортогональный к векторам p и q , если вектор ñ

образует тупой угол с осью Оу

1.5.1.09. Даны координаты точек А, В, С . Нужно записать векторы АВ и АС в

системе орт и найти модули этих векторов .

А (2; -8; -2), В (7; -7; -2), С (5; -3; 2)

1.5.1.010. Даны координаты точек А, В, С . Нужно найти угол между векторами АВ

и АС

А (2; -8; -2), В (7; -7; -2), С (5; -3; 2)

1.5.1.011. За координатами точек А , В и С для указаных векторов найти проэкцию







вектора c на вектор d . А (3, 4, -4),

В (-2, 1, 2), С (2, -3, 1).

c  BA ; d  AC

1.5.1.012. Найти проэкцию вектора А ₁ А ₃ на вектор А 1 А 4 :

А А  6  2 ; 3  3 ; 7  1  ; A 1 A 3  4 ; 0 ; 6  A 1 A 4  5 ; 2 ;  4 

1

3

,





1.5.1.013. Дано векторы а , b . Найти:









1. Скалярное произведение векторов a  2 b и 3 a  2 b ;







2. Векторное произведение векторов a  b и 3 b





а = (4; 4; 12), b = (7; 0; 4)

1.5.1.014. Вычислить площадь параллелограма, построенного на векторах









a  ( a _x , a _y , a z ) , b  ( b x , b y , b z ) .

а = (3; -1; 1), b = (6; 0; 3)







1.5.1.015. Если заданые векторы а , b , c некомпланарны, то найти объём







параллелепипеда, построенного на векторах а , b , c .







а = (7; -3; 2), b = (1; -1; 1),

c = (3; -7; 8).







1.5.1.016. Если заданые векторы а , b , c некомпланарны, то найти объём







параллелепипеда, построенного на векторах а , b , c .







а = (-1; 3; 2), b = (2; -3; 4),

c = (-3;12; 6).

1.5.1.017. Заданы векторы а (  6 ; 6 ; 1 ), b ( 10 ; 1 ; 0 ), c ( 16 ; 9 ; 2 ), d (  1 ; 1 ; 2 ) . Выяснить ,

образуют ли векторы a , b , c базис и записать координаты вектора d в этом базисе .

  



1.5.1.018. Даны векторы а ₁ , а ₂ , а 3 , b . Показать , что первые три с них образуют

базис трехмерного пространства и найти координаты четвёртого вектора в этом базисе .

Систему решить с помощью обратной матрицы .

а 1 (4; 1; 4), а 2 (-2; -1; 1), а 3 (3; 1; 5), b (-3; -2; 1).

1.5.1.019.

а ₁ , а ₂ , а 3 , b

. Показать , что вектори 1

а , а ₂ , а ₃ образуют

Даны векторы

базис трёхмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе .

а    1 ; 2 ; 0  ; а 2   2 ; 4 ; 2  ; а 3    3 ;  1 ; 3  ; b    8 ; 0 ; 4  .

1

1.5.1.020.

а ₁ ( 5 ; 4 ; 3 ), а 2 (  6 ;  2 ; 4 ), а 3 (  3 ; 1 ; 3 ) образуют

Дказать , что векторы

базис пространства этих трёхмерных векторов. Разложить вектор

d  ( 20 ; 17 ; 2 ).

Заказать задачи можно здесь.