1.3. Системы линейных уравнений

Решены задачи для таких учебных заведений: НАУ, КНУБА, ГЭТУТ, КИБИТ,

КНУКиИ, НУГНСУ, ПУПКУ, СГУ, ЖГТУ, ЖГАЕУ, ЕУ, Кемт, Жтк, Бк, КорТеК и др.

Термины по теме на украинском языке:

система лінійних рівнянь , метод Крамера , метод Гауса , метод Жордана - Гаусса, метод

оберненої матриці, засіб матричного числення, метод повного виключення змінних , метод

виключення невідомих , метод виключення невідомих за допомогою перетворень

Жордана - Гаусса ,. сумісність системи лінійних рівнянь, матричне рівняння, обернена

матриця, матричний спосіб , вільні змінні , базисні змінні , базисний розв’язок , опорний

розв’язок .

1.3.1. Метод Крамера

1.3.1.01. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера.

 6 x  2 y  3 z   18



 5 x  y  2 z  3



 3 x  y  z  1

1.3.1.02. Розв’язати систему рівнянь за формулами Крамера .

 x  y  2 z  3 t  1



 2 x  3 y  z  t   6



 x  2 y  3 z  t   4

 x  4 y  t  2



1.3.1.03. Используя формулы Крамера, решить систему уравнений

 5 x  2 y  3 z  0



 4 x  6 y  z   6 ,



  3 x  2 y  z  8

указав в ответе отдельно величину определителя  этой системы

Заказать задачи можно здесь.

1.3.2 . Метод Гаусса

1.3.2.01. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

 3 x 1  2 x 2   1



 4 x 1  3 x 2  10

1.3.2.02. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

 x 1  4 х 2  2 x 3   3



 3 x 1  x 2  х 3  5



 3 x 1  5 x 2  6 х 3   9

1.3.2.03. Дано систему линейных уравнений. Доказать совместимость и розв’язати

 x  2 y  z  4

методом Гауса



 2 x  y  3 z  5



 3 x  4 y  z   2

1.3.2.04. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить её

методом Гаусса.

 17 х 1  5 х 2  7 х 3   38



 8 х 1  9 х 2  3 х 3  40



 1

8 х  3 х ₂  3 х ₃   2

  28 х  8 х  9 х  8



1

2

3

1.3.2.05. Решить методом Гаусса систему уравнений

  7 x  9 y  2 z  5 w  16



 2 x  5 y  3 z  w   7





 3 x  y  4 z  7 w   24

  2 x  7 y  z  6 w  31



1.3.2.06. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить её

методом Гаусса.

 8 х 1  3 х 2  2 х 3  2 х 4  5



 4 х 1  х 3  7



 1

7 х  2 х ₂  4 х ₃  9 х 4   29

 1

 7 х  9 х  10 х  7 х   8

2

3

4

1.3.2.07. Решить систему уравнений методом Гаусса с использованием расчётных

таблиц

 х 1  х 2  2 х 3  х 4  1



 х 1  2 x 2  х 3  x 4   1



 х 1  х 2  2 х 3  3 х 4   1

Заказать задачи можно здесь.

1.3.3. Матричный метод

1.3.3.01. Систему уравнений записать в виде матричного уравнения и решить с

помощью обратной матрицы.

 2 х  3 у  z  1



 x  y  4 z  0



 4 x  5 y  3 z  1

1.3.3.02. Найти сначала обратную матрицу системы уравнений

 3 x  5 y  4 z   2



 2 x  3 y  2 z   3



  2 x  5 y  z   9

решить затем эту систему методом обратной матрицы.

1.3.3.03. Решить СЛУ матричным способом

 x 1  4 х 2  x 3  9



 x 1  2 x 2  х 3  3



 3 x 1  5 x 2  4 х 3  12

Заказать задачи можно здесь.

1.3.4. Метод Жордана - Гаусса

1.3.4.01 - 1.3.4.024 Решить систему уравнений методом Жордана - Гаусса:

 2 х 1  2 x 2   3

 х 1  x 2  x 3  2



1.3.4.01.  2 х 1  3 x 2  x 3   6



1.3.4.02.  х 1  x 2  3 x 3  1





 3 х 1  4 x 2  x 3  0

 х 1  2 x 2  x 3  3

 2 х 1  x 2  3 x 3  9

 3 х 1  5 x 2  3 x 3  12



1.3.4.03.  х 1  x 2  2 x 3   1

1.3.4.04.  4 х 1  2 x 2  5 x 3  27





 3 х 1  2 x 2  x 3  0



 7 х 1  8 x 2  x 3  40

 4 x 1  5 х 2  8 x 3  16

  2 х 1  3 х 2  3 x 3  x 4  2

1.3.4.05.  2 x 1  2 x 2  х 3  4



1.3.4.06. 



 1

 х  х ₂  7 х ₃  2 х 4   1

 2 x 1  3 x 2  8 х 3  14

  9 х 1  5 х 2  5 x 3  x 4  3

 5 х 1  х 2  x 3  x 4   2

1.3.4.07. 

1.3.4.08. 

 2 х 1  х 2  14 х 3  3 х 4  2

 4 х 1  х 2  х 3  2 х 4  4

  2 х 1  3 х 2  3 x 3  x 4  4

 11 х 1  5 х 2  5 x 3  x 4   3

1.3.4.09. 

1.3.4.010. 

 х 1  х 2  11 х 3  4 х 4  1

 2 х 1  х 2  14 х 3  3 х 4  2

 6 х  y  z   8

 2 х 1  2 x 2   3



1.3.4.011.  5 х  y  5 z  5

1.3.4.012.  2 х 1  3 x 2  x 3   6





 х  y  z  1



 3 х 1  4 x 2  x 3  0

 6 х  2 y  3 z  5

 5 х  y  2 z   5

1.3.4.013  5 х  y  5 z   28



1.3.4.014



 3 х  2 y  5 z   2



 х  y  z  6



 х  7 y  z  14

 х  2 y  z   1

 3 х  2 y  z   16

1.3.4.015





 4 х  y  3 z   11

1.3.4.016

 6 х  10 y  3 z   11





 7 х  2 y  2 z  4

 х  5 у  7 z  37

 6 х  y  z   8

 4 х  2 y  z   22

1.3.4.017





 5 х  y  5 z  5

1.3.4.018

 5 х  2 y  3 z   17





 х  y  z  1

 6 х  y  7 z  0

 6 х  3 y  5 z   16

 9 х  4 y  z   20

1.3.4.019





 12 х  y  7 z   42

1.3.4.020

 6 х  5 y  3 z   1





 х  5 y  3 z  5

 3 х  y  2 z   3

 3 х  2 y  5 z   8

 х  y  z   8

1.3.4.021





 х  y  z   3

1.3.4.022

 5 х  3 y  7 z   40





 10 х  5 y  7 z   54

 10 х  2 y  3 z   20

 х  7 y  3 z   10

 6 х  2 y  5 z   1

1.3.4.023  6 х  5 y  z   4



1.3.4.024  х  y  z   3







 12 х  3 у  2 z   26

 6 х  9 y  8 z   6

1.3.4.025 - 1.3.4.026 Решить систему линейных уравнений методом полного

исключения переменных :

 х 1  х 2  х 3  3 х 4  2



 х 1  х 2  х 3  3 х 4  0

 2 х 1  х 3  х 4  3

1.3.4.025 

1.3.4.026  3 х 1  х 2  x 3  х 4  2



 1

х  х ₂  2 х ₃  4 х 4  3



 х  х  х  х  0

 2 х 1  х 2  х 3  х 4  3

 1

2

3

4

1.3.4.027 Методом Жордана - Гаусса решить в случае совместимости систему

линейных уравнений, указать свободные переменные и базисное решение, которое им

отвечает. Проверить это решение подстановкой .

 3 x 1  2 x 2  4 x 3  3 x 4  6



 x 1  x 2  2 x 3  x 4  1





 2 x ₁  2 x ₂  x 3  2 x 4  3

 4 x  x  5 x  6 x  2

 1

2

3

4

1.3.4.028 - 1.3.4.038 Методом Жордана - Гаусса решить систему линейных

уравнений. Указать свободные, базисные переменные и базисное решение . Проверить

решение подстановкой .

 х 1  4 х 2

 х ₄  0

 2 х 1  8 х 2  х 4  27





 2 х 1  11 х 2  3 х 3  2 х 4   15

1.3.4.028 

1.3.4.029 

 х 1  2 х 2  х 3  7

 1

3 х  7 х ₂  х ₃  х 4  13

 1

2 х  9 х ₂  2 х ₃  х 4  10

 х  2 х

 1

 5 х  16 х  х  32

2

 5 х ₄  12

 1

2

4

 3 х 1  2 х 2  х 3  5 х 4  3

 х 1  6 х 2  2 х 3  х 4  4





1.3.4.030 

 2 х 1  х 2  3 х 3  2 х 4  13

1.3.4.031 

 4 х 1  4 х 2  х 3  2 х 4  5

 1

4 х  х ₂  х ₃  6 х 4  14

 1

3 х  х ₂  2 х ₃

 11

 х  2 х  5 х  9 х   13

 1

 х  2 х  х  х   1

2

3

4

 1

2

3

4

 х 1  4 х 2

 х ₄  0

 2 х 1  8 х 2  3 х 3  х 4   11





1.3.4.032 

 2 х 1  11 х 2  3 х 3  2 х 4   15

1.3.4.033 

 х 1  6 х 2  х 3  2 х 4  7

 1

3 х  7 х ₂  х ₃  х 4  13

 1

х  10 х ₂

 3 х ₄   2

 х  2 х

 1

 3 х  10 х  х  4 х  11

2

 5 х ₄  12

 1

2

3

4

 5 х 1  3 х 2  х 3  х 4  15

 х 1  2 х 2 

х ₃  х ₄  10



 х  0



4

1.3.4.034 

 х 1  2 х 2

1.3.4.035 

 4 х 1  11 х 2  2 х 3  х 4  25

 1

2 х  4 х ₂  2 х ₃

 6

 1

х 

х 2

 х ₄  0

 х

 1

 х ₂  3 х ₃  х 4  11

 2 х  5 х  х

 1

2

3

 10

 х 1  3 х 2  х 3  х 4  2

 х 1  6 х 2  3 х 3  2 х 4   9





х  х  х  9

2

3

4

1.3.4.036 

  5 х 2  2 х 3  х 4  11

1.3.4.037 



 1

3 х  х ₂  х ₃  5 х 4   16

 1

2 х  3 х ₂  х ₃  х 4  9

 4 х  3 х  х  2 х  44

 1

 3 х  4 х  х

2

3

4

 1

2

3

 27

  2 х 1  х 2  3 х 3  8 х 4  8



1.3.4.038 

 х 1  х 2  5 х 3  8 х 4   13

 1

2 х  3 х ₂  х ₃

 16





х ₂  х ₃  2 х 4  6

1.3.4.039 Доказать совместность системи линейных уравнений и решить её

методом исключения неизвестных с помощью превращений Жордана - Гаусса.

 8 х 1  3 х 2  2 х 3  2 х 4  5



 4 х 1  х 3  7



 1

7 х  2 х ₂  4 х ₃  9 х 4   29

 7 х  9 х  10 х  7 х   8

 1

2

3

4

1.3.4.040 Решить систему уравнений методом исключения неизвестных :

 2 x 1  5 x 2  4



 3 х 1  4 x 2   1

1.3.4.041- 1.3.4.042 Решить систему линейных уравнений методом Жордана - Гаусса.

Найти опорное решение .

  3 х 1  2 х 2  х 3  х 4  х 5  2

 3 х 1  х 2  х 3   2



1.3.4.041  2 х 1  3 х 2  х 3  2 х 4  х 5   3



1.3.4.042  х 1  3 х 2  х 5  1





 х 1  х 2  4 х 3  х 4  2 х 5  8

  2 х ₁  х 4  3

Заказать задачи можно здесь.

1.3.5. Решение тремя методами

1.3.5.01. Если система совместима, то решить её , используя: 1) правило Крамера;

2) метод Гаусса; 3) обратную матрицу

 5 х 1  2 х 2  4 х 3  12



 5 х 1  4 х 2  3 х 3  11



 2 х 1  3 х 2  х 3  4

1.3.5.02. Дано систему линейных уравнений

 а 11 x 1  а 12 x 2  а 13 х 3  b 1



 a 21 x 1  a 22 x 2  a 23 x 3  b 2



 a 31 x 1  a 32 x 2  a 33 х 3  b 3

Доказать совместность и решить 3 способами : 1) методом Крамера, 2) методом

Гаус c а, 3) методами матричного исчисления .

 x 1  х 2  2 x 3   1



 2 x 1  x 2  2 х 3   4



 4 x 1  x 2  4 х 3   2

1.3.5.03. Дано систему линейных уравнений

 а 11 х 1  а 12 х 2  а 13 х 3  b 1



 a 21 x 1  a 22 x 2  a 23 x 3  b 2



 a 31 x 1  a 32 x 2  a 33 x 3  b 3

Доказать её совместность и решить 3 способами: 1) методом Гаусса; 2) методами

матричного исчисления; 3) методом Крамера.

 2 х 1  7 х 2  х 3  11



 5 x 1  2 x 2  3 x 3  8



 x 1  4 x 2  2 x 3  6

Заказать задачи можно здесь.