1.2.Матрицы
Решены задачи для таких учебных заведений: НАУ, КНУБА, ГЭТУТ, КИБИТ,
КНУКиИ, НУГНСУ, ПУПКУ, СГУ, ЖГТУ, ЖГАЕУ, ЕУ, Кемт, Жтк, Бк, КорТеК и др.
Термины по теме на украинском языке:
матриця , дії з матрицями, ранг матриці , ранг системи векторів, визначник, визначник
матриці , визначник четвертого порядку , правило трикутника , безпосереднэ розкладання за
елементами рядка або стовпчика, матриця, обернена даній , обернена матриця, метод
приєднаної матриці, метод перетворень Жордана - Гаусса, метод елементарних
перетворень, власні значення і власні вектори лінійного перетворення.
1.2.1. Действия над матрицами
1.2.1.01 . Выполнить действия над матрицами: 3 А + 2 В ; А В ;
В А ;
А С ,
1
2
4
0
1
2
1
 
где А 4
3
1 ,
В 3
1
4 ,
С 3 .
 
1
2
0 
1
4
3 
0
1.2.1.02. Вычислить А + В ; А – В; АВ; 5А,
  1
7
3
8
8
12
где А = 2
4
1 ,
В = 1
2
0 .
7
2
5 
2
8
3 
1.2.1.03. Найти матрицу D 2 A 2 3 B C A 1 ,
4
2
0
3
2
3
2
0
А 1
3
1 ,
В 4
3 ,
С 
8
 .
4
8
8
  1
0
1
0
1.2.1.04. Для заданых матриц А, В, С и D найти матрицы :
1) ( 3 A 2 C ) ( 3 B D );
2) ( 3 B D ) ( 3 A 2 C );
3) ( 2 A T 3 B ) ( 2 C D T );
4) ( 2 C D T ) ( 2 A T 3 B );
3
4
1
2
  8
4
5
A 
 , В 0
3 ,
4
1
0 ,
D 3
5 .
  1
3 14
6

5
2
C 
2
2
4
0 
1.2.1.05. Для заданых матриц А, В, С и D найти матрицы :
1) ( 3 A 2 C ) ( 3 B D );
2) ( 3 B D ) ( 3 A 2 C );
3) ( 2 A T 3 B ) ( 2 C D T );
4) ( 2 C D T ) ( 2 A T 3 B );
1 2
2
1
1 4 3
A 3 1 , B 
 ,
C 2 1 ,
  4 2
1
  1 2 1
7
D 

4 1
3 
0
3 2
1.2.1.06. Заданы матрицы А, В, С и число k. Вычислить А* B-kC,
  1 4
3
4
4
5
4
3
5
А = 0
4
5 , В = 5
1
0 , C 2
3
3 , k = -2.
3
1
0
1
0
  3
4
1
4
1.2.1.07. . Вычислить значение даного выражения, где А и В заданые матрицы :
  1
2
AB 7 B 2 3 ( A B 2 E ),
A
,
2
5 .
4
3 В  
6
  4
1.2.1.08. Вычислить значение даного выражения, где А и В заданые матрицы :
1 2
6
2
B 2 3 BA 2 E 4 A , A 
, В  
.
1
2 4
3
1.2.1.09 . Вычислить значение даного выражения, где А и В заданые матрицы :
7
4
2
3
B 2 4 ( A B ) AB 2 E ,
A
, В  
.
6
2 8
4
1.2.1.010. Вычислить значение даного выражения, где А и В заданые матрицы :
3 4
4
3
AB 3 B 5 BA ,
A
, В  
.
5
  1 5
7
1.2.1.011. Вычислить значение даного выражения, где А и В заданые матрицы :
3 4
4
3
B 2 A 2 3 ( A B 2 E ) AB ,
A
, В  
.
5
  1 5
7
1.2.1.012. Заданы матрицы А и В :
1
1
0
1 1
1
A 3
1 1 ,
B 2 1 1 .
1
1
1
1 1
1
Найти :
1. Матрицу С = АВ + ВА .
2. Ранг матрицы А или В .
-1
-1
3. Матрицу А или В . Сделать проверку .
4. Матрицу Х уравнения АХ = В или ВХ = А .
4
9
2
Т
1.2.1.013. Найти АА , если A 3
5
7 .
6
8
1
Заказать задачи можно здесь.
1.2.2. Определители
1.2.2.01. Вычислить определители :
1
2
1
1
2
3
1
2
3
2
5
2
2
а)
,
б) 0
4
2 ,
в)
4
6
1
0
1
1
1
3
1
2
1
1
1
1.2.2.02. Вычислить определители :
1
1
1
1
7
3 5
2
1
2
3
3
4
а)
,
б) 5
2
1 ,
в)
1 3
1
2
1
3
2
1 3
2
2
3
2
1.2.2.03. Вычислить определители :
2
1
1
4
1
2
8
6
9
1
1
2
4
а)
,
б) 3
2 10 ,
в)
8
12
1
2
2
2
4
3
4
1
0
1
3
1.2.2.04. Вычислить определители :
1
2
1
2
5
3
11
3
7
2
5
1
1
а)
,
б) 2
9
9
,
в)
7
8
1
2
1
3
1
4
12
5
7
4
2
1.2.2.05. Вычислить определители :
1
0
1
5
3
2
2
4
9
4
3
1 1
а)
,
б) 1
5
8 ,
в)
9
13
1
3
1
3
4
2
1
1
2
2
1
1.2.2.06. Вычислить определителm четвёртого порядка
5
0
4
2
8
8
2
1
4
8
2
0
1
1
1
1
1.2.2.07. Вычислить определитель матрицы двумя способами:
а) с помощью правила треугольника,
б) непосредственным разложением по елементам первой строки.
8
2
3
4
40
6
7
8
9
1.2.2.08. Найти определители матриц :
  8
1
0
2
8
А
,
В 4
0
3 .
3 10
2
1 8
1.2.2.09. Определить значение параметра а , при котором определител равен нулю.
5
1
2
3
2
3
4
2
3
4
1
а
1
5
3
4
Заказать задачи можно здесь.
1.2.3. Ранг матрицы
1.2.3.01. Найти ранг системы векторов: a 1 ( 2 ; 1 ; 1 ; 1 ), a 2 ( 1 ; 3 ; 1 ; 1 ), a 3 ( 1 ; 1 ; 5 ; 1 ),
a 4 ( 1 ; 4 ; 4 ; 0 ), a 5 ( 0 ; 1 ; 13 ; 1 ), a 6 ( 2 ; 3 ; 3 ; 1 ) .
1.2.3.02. Найти ранг матриц
8
6
  1 4
1
А
;
В
.
4
0
2
3
1
Заказать задачи можно здесь.
1.2.4. Обратная матрица
1.2.4.01. Найти определители матриц и обратные к ним ( если существуют ):
  8
1
0
2
8
А
,
В 4
0
3 .
3 10
2
1 8
1.2.4.02. Найти обратную матрицу к матрице
3
5 4
А 2
3 2
  2 5
1
1.2.4.03. Найти матрицу, обратную даной, не пользуясь методом присоединённой
матрицы, методом превращений Жордана - Гаусса. Сделать проверку полученого
решения.
3
9
5
А 9
9
7 .
19 12 14
1.2.4.04 -1.2.4.05. Найти матрицу, обратную матрице не пользуясь методом
присоединённой матрицы, методом элементарных превращений. Сделать проверку
полученого решения.
13
4
5
3
9
5
1.2.4.04
А 4
6
11 ,
1.2.4.05.
А 9
9
7
18 10 16
19 12 14
1.2.4.06. Найти элементарными превращениями матрицу, обратную к даной,
1
2
1
перемножить А A 1 и A 1 A :
3
6
3 .
5
10 5
1.2.4.07. Найти элементарными превращениями матрицу, обратную к даной,
2
7
3
перемножить А A 1 и A 1 A :
3
9
4 .
3
1
5
1.2.4.08. Найти элементарными превращениями матрицу , обратную к даной,
1
1
2
перемножить А A 1 и A 1 A :
2
1
2 .
4
4
1
1.2.4.09. Найти элементарными превращениями матрицу, обратную к даной,
  1
2
4
перемножить А A 1 и A 1 A :
2
1
6
3
5
7
1.2.4.010. Найти элементарными превращениями матрицу, обратную к даной,
0
1 10
перемножить А A 1 и A 1 A :
2
0
5
16
1
3
1.2.4.011. Выяснить, какие с даных матриц не имеют обратной :
3 7
2
1
3
2
1
5
12
2
4
8
2
A 0
1
2
4 ,
B 3
1
1 ,
C
3 5
0 0 1
9
9
3
0
0
5
9
7
0 4 12 2
Заказать задачи можно здесь.
1.2. 5. Другое
1.2.5.01. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
превращения, заданого в некотором базисе матрицей А .
3
1
0
А 4
1
0 .
4
8
2
Заказать задачи можно здесь.
1. 2. 6. Применение матриц
1.2.6.01. Для трёх фирм производителей (І, ІІ, ІІІ) известно: матрица прямих затрат
А ; объём готовой продукции для непроизводственного потребления (для реализации) у і , ( і
= 1,2,3). Найти необходимый валовый продукт продукции каждой фирмы и
коэффициенты полных совокупных, полных внутренних, а также побочных затрат.
0 , 2
0
0 , 2
15
 
A 0 , 1
0 , 1
0 ,
у 10 .
 
0 , 1
0 , 1 0 , 3
5
1.2.6.02. (Транспортная задача) На двух пунктах отправления П 1 и П 2
сосредоточено соответственно а 1 и а 2 единиц некоторой продукции, которую нужно
отправить двум потребителям С 1 и С 2 . Потребители нуждаются соответственно b 1 и b 2
единиц этой продукции. Затраты на перевозку единицы продукции с пунктов отправления
до потребителей поданы в таблице. Состасить план перевозок, при которому общая
стоимость перевозок будет минимальной.
а 1 = 270, а 2 = 230,
b 1 = 200,
b 2 = 300.
Пункт отправления
Затраты на перевозку единицы продукции к
потребителям (ден.ед.)
С 1
С 2
П 1
12
10
П 2
7
13
1.2.6.03. Известна структурная матрица А торговли трёх стран. Нужно найти
соотношение бюджетов этих стран для збалансированной торговли.
0 , 3
0 , 1
0 , 2
А 0 , 4
0
0 , 7 .
0 , 1
0 , 3
0 , 9
1.2.6.04. В таблице приведены данные о роботе 3 отраслей промышленности за
некоторый период. 1) Найти матрицу прямых затрат и определить, есть ли она
продуктивной. 2) Найти конечные продукты каждой отрасли при увеличении их валовых
продуктов, что задано вектором валового продукту Х .
Отрасль
Потребление
Валовый
І
ІІ
ІІІ
продукт
І
5
13
8
90
ІІ
14
2
10
50
ІІ
6
17
15
80
100)
Т
Х = (160
120
1.2.6.05. В таблице приведены данные баланса 3 отраслей промышленности за
отчётный период. Найти необходимый объём валового продукта каждой отрасли, если
конечные продукты каждой отрасли запланировано увеличить соответственно до у 1 , у 2 , у 3 .
Отрасль
Потребление
Конечный
Валовый
І
ІІ
ІІІ
продукт
продукт
І
7
21
18
54
100
ІІ
17
10
24
39
90
ІІІ
12
15
13
60
100
у 1 = 80,
у 2 = 60, у 3 = 100
1.2.6.06. Предприятие изготавливает 3 вида продукции П 1 , П 2 , П 3 , используя 3 вида
сырья С 1 , С 2 , С 3 . Необходимые характеристики производства поданы в таблице. Найти
объём выпуска продукции каждого вида при заданых запасах сырья.
Вид сырья
Затрати сырья на единицу продукции (у весовых
Запасы сырья
единицах)
(вес. ед.)
П 1
П 2
П 3
С 1
3
2
2
1200
С 2
4
1
2
1300
С 3
1
5
3
1300
Заказать задачи можно здесь.