1.12. Ряды
Решены задачи для таких учебных заведений: НАУ, КНУБА, ГЭТУТ, КИБИТ,
КНУКиИ, НУГНСУ, ПУПКУ, СГУ, ЖГТУ, ЖГАЕУ, ЕУ, Кемт, Жтк, Бк, КорТеК и др.
Термины по теме на украинском языке:
ряд, числовий ряд, додатний числовий ряд, знакододатний числовий ряд, сума
ряду , збіжність числового ряду, ряд геометричної прогресії, ознака Даламбера ,
гармонічний ряд, узагальнений гармонічний ряд, ознакою порівняння , знакозмінний ряд,
знакопочережний ряд, абсолютна збіжність, функціональний ряд, рівномірна збіжність на
відрізку, степеневий ряд, інтервал збіжності ряду , збіжність на кінцях інтервалу збіжності
ряду , ряд Тейлора, ряд Маклорена, ряд Фур’є, тригонометричні ряди.
Для удобства поиска нужного примера все производные сгруппированы не по
способу решения, а по ©внешнему видуª по таким категориям:
1.12.1 Числовые ряды ( 1.12.1.1. Положительные числовые ряды (1.12.1.1.1
Положительные числовые ряды другие , 1.12.1.1.2. Положительные числовые ряды со
скобками , 1.12.1.1.3. Положительные числовые ряды с ln, 1.12.1.1.4. Положительные
числовые ряды с иррациональностью , 1.12.1.1.5. Положительные числовые ряды с
факториалом ! , 1.12.1.1.6. Положительные числовые ряды с мнимой единицей i, 1.12.1.1.7.
Положительные числовые ряды с e, 1.12.1.1.8. Положительные числовые ряды
тригонометрические , 1.12.1.1.9. Положительные числовые ряды обратные
тригонометрические ), 1.12.1.2. Знакопеременные числовые ряды ( 1.12.1.2.1.
Знакопеременные числовые ряды другие , 1.12.1.2.2. Знакопеременные числовые ряды со
скобками , 1.12.1.2.3. Знакопеременные числовые ряды с ln, 1.12.1.2.4. Знакопеременные
числовые ряды с иррациональностями , 1.12.1.2.5. Знакопеременные числовые ряды
тригонометрические , 1.12.1.2.6. Знакопеременные числовые ряды обратные
тригонометрические , 1.12.1.2.7. Знакопеременные числовые ряды с факториалом ! ,
1.12.1.2.8 . Знакопеременные числовые ряды с е )
1.12.2 Функциональные ряды (1.12.2.1. Функциональные ряды другие, 1.12.2.2.
Функциональные ряды со скобками, 1.12.2.3. Функциональные ряды знакопеременные ,
1.12.2.4. Функциональные ряды тригонометрические , 1.12.2.5. Функциональные ряды с ln,
1.12.2.6. Функциональные ряды с e, 1.12.2.7. Функциональные ряды с ! )
1.12.3 C тепенные ряды (1.12.3.1. Степенные ряды другие, 1.12.3.2. Степенные ряды со
скобками , 1.12.3.3. Степенные ряды знакопеременные , 1.12.3.4. Степенные ряды с
иррациональностями , 1.12.3.5. Степенные ряды с ln, 1.12.3.6. Степенные ряды с
факториалом ! , 1.12.3.7. Степенные ряды тригонометрические 0
1.12.4 Ряды Тейлора (Маклорена) 1.12.4.1. Разложение функции в ряд по степеням,
1.12.4.2. Приближённое вычисление определённого интеграла с заданной точностью с
помощью разложения в ряд, 1.12.4.3. Приближённое решение дифференциального
уравнения с помощью разложения в ряд )
1.12.5 Ряды Фурье (тригонометрические ряды ) ( 1.12.5.1. Ряды Фурье для функций,
заданных уравнениями , 1.12.5.2. Ряды Фурье для функций, заданных системой )
1.12.1 Числовые ряды
1.12.1.1. Положительные числовые ряды
1.12.1.1.1 Положительные числовые ряды другие
1
1
n
1.12.1.1.1.1
1.12.1.1.1.2
n 1 n 2
n 1 2 n 1
1
2 n 1
n
1.12.1.1.1.3
1.12.1.1.1.4
n 1 2 n
n
n 1
2
2 n 1
n
n
1.12.1.1.1.5
1.12.1.1.1.6
n 1 3 1
n 1 2 n 1
1
2 n
n
1.12.1.1.1.7
1.12.1.1.1.8
n 1 2 5 4
3
n 1 n
1
1
1.12.1.1.1.9
1.12.1.1.1.10
n 1 n
n 1 n
2 n 2 3 n 2
3 n 3
2
1.12.1.1.1.11
1.12.1.1.1.12
n 1 3 n 5 n 1
3
n 1 2 n 1
n
n 3 1
2
1.12.1.1.1.13
1.12.1.1.1.14
n 1 3 n 2
n 1
n 1
2
3 n
n
1.12.1.1.1.15
1.12.1.1.1.16
n 1 7 n 5
n 1 2 n 1
1
5 n x n
n
1.12.1.1.1.17
1.12.1.1.1.18
n 1 n
2 n
n 1 n 3
1
2 n 5
n
1.12.1.1.1.19
1.12.1.1.1.20
n 1 n 9
2
n 1 3 n 2 n
n 2 3
n 5
3
1.12.1.1.1.21
1.12.1.1.1.22
n 1 4 n 5 n
2
n 1 n 3
n 7
3 n
4
1.12.1.1.1.23
1.12.1.1.1.24
n 1 3 n 5 n 2
2
n 1 9 n 2 n
n 4
1
n
1.12.1.1.1.25
1.12.1.1.1.26
n 1 2 2
n 1 4 n 5
3 n 3 1
3 n 2 n 1
3
1.12.1.1.1.27
1.12.1.1.1.28
n 1 2 n 5
3
n 1 7 n 3 n 2 4 n
4 n 5 n
n
1.12.1.1.1.29
n 1
20
Заказать задачи можно здесь.
1.12.1.1.2. Положительные числовые ряды со скобками
1
1 2 n
1.12.1.1.2.1
1.12.1.1.2.2
n 1 ( 2 n 1 ) 2 n
1
n 1 n
1 n
2
2 n 1
2
1.12.1.1.2.3
1.12.1.1.2.4
n 1 n ( n 1 ) 2
1
n 1 n
2
n
2 n 5 n
1 n n 1
1.12.1.1.2.5
1.12.1.1.2.6
n 1 3 n 1
n 1 2 n
n
15 n 1 n
n
2
1.12.1.1.2.7
1.12.1.1.2.8
n 1 6 n 3
n 1 3 n 1
3 n 1
2 n 1 n
1.12.1.1.2.9
1.12.1.1.2.10
n 1 ( 4 n 1 ) 7 n
n 1 n 3
n 2 n
3 n 1 5 n
1.12.1.1.2.11
1.12.1.1.2.12
n 1 4 n 3
n 1 8 n 1
n
n 3 n
1.12.1.1.2.13
1.12.1.1.2.14
n 1 ( 2 n 1 )( 3 n 1 )
n 1 4 n
2
6 n 2 6 n n
n n
 2
1.12.1.1.2.16
n 1 2 n 3 n
1.12.1.1.2.15
n 1 n 1
2 n
2
2 n 1 n
2
n
1.12.1.1.2.17
1.12.1.1.2.18
n 1 4 n 3
n 1 2 n 2
1
2 n 2
1.12.1.1.2.19
1.12.1.1.2.20
n 1 ( n 2 )( n 5 )
n 1 ( n 2 ) 4
2 n 1 3
n
1
1
 
1.12.1.1.2.21
1.12.1.1.2.22
n 1 4 n 1 2 n
n 1 ( 2 n 5 )( 2 n 7 )
3 n 1 n
2
7 n 1 7
1.12.1.1.2.23
1.12.1.1.2.24
n 1 8 n
n 1 3 n
Заказать задачи можно здесь.
1.12.1.1.3. Положительные числовые ряды с ln
ln n
1
1.12.1.1.3.1
1.12.1.1.3.2
n
ln 1
n 1
n 1
n
1
1
n
1.12.1.1.3.3
1.12.1.1.3.4
n 1 ln ( n 1 )
n 1 ( n 2 ) ln( n 2 )
1
n 1
1
ln
1.12.1.1.3.5
1.12.1.1.3.6
n 1 n
n
n 1 ( n 1 ) ln 2 ( n 1 )
n
1
2
4
1.12.1.1.3.7
1.12.1.1.3.8
n 1 n ln n

n 1 ln( n 1 )
1
1
1.12.1.1.3.9
1.12.1.1.3.10
n 1 n ln n
n 2 n ln n
1
1
3
1.12.1.1.3.11
1.12.1.1.3.12
n 2 n ln n
n 1 ( 5 7 n ) ln 5 ( 5 7 n )
n 2 2
1
ln  2
1.12.1.1.3.13
1.12.1.1.3.14
n 1
n 1
( n 5 ) 1 2
n 2
ln ( n 5 )
1
1.12.1.1.3.15
n 1 (ln( n 2 )) n
Заказать задачи можно здесь.
1.12.1.1.4. Положительные числовые ряды с иррациональностью
1
1.12.1.1.4.1
n
n 2 3 n 1 n 2 1 1.12.1.1.4.2
n 1
n 1
n 2
n 1
3
1.12.1.1.4.3
1.12.1.1.4.4
n 2 n 2 1
n 1
n 1 n n
2 n 1
1
1
1.12.1.1.4.5
3
sin
1.12.1.1.4.6
n 1
n 3 n
n 1
n 5
n 1
n 1 n
1.12.1.1.4.7
n 1
n
Заказать задачи можно здесь.
1.12.1.1.5. Положительные числовые ряды с факториалом !
5 n
10 n
1.12.1.1.5.1
1.12.1.1.5.2
n 1 n !
n !
n 1
( n 1 ) 3 3 n
3 n
1.12.1.1.5.3
1.12.1.1.5.4
n 1
( 2 n 1 )!
n 1 ( n 5 )!
n 2
n 3 2 n 1
1.12.1.1.5.5
1.12.1.1.5.6
n 1 n !
n 1
n !
2 n
n !
1.12.1.1.5.7
1.12.1.1.5.8
n 1 ( n 1 )!
n
n 1 5
5 2 n
( 3 n 1 )!
1.12.1.1.5.9
1.12.1.1.5.10
n 1 ( 2 n 1 )!
8 nn
n 1
6 n ( n 3 )
1
1.12.1.1.5.11
1.12.1.1.5.12
n !
n 1
n 1 ( 4 n 1 )!
n
1.12.1.1.5.13
n 1 ( 2 n 3 )!
Заказать задачи можно здесь.
1.12.1.1.6. Положительные числовые ряды с мнимой единицей i
1
n
1
i
n i
1.12.1.1.6.1
1.12.1.1.6.2
n 1 3
n 4
 n
n 1 2
n ( n 1 )
n 2
( 1 ) n 1
cos n
3
 4
i
1.12.1.1.6.3
1.12.1.1.6.4
n 1 n 1
n
3 i 4
n 1 n
n
Заказать задачи можно здесь.
1.12.1.1.7. Положительные числовые ряды с e
5 n 1 е n
1.12.1.1.7.1
n 2
Заказать задачи можно здесь.
1.12.1.1.8. Положительные числовые ряды тригонометрические
1
1
sin 2
1.12.1.1.8.1
1.12.1.1.8.2
n
tg 2
n 1
n 1
n
n
3
cos n
3
sin
1.12.1.1.8.3
1.12.1.1.8.4
n
3 i 4
n 1
n 1 n
n
cos n
cos 2 n 2
2
1.12.1.1.8.5
1.12.1.1.8.6
n 1
n
2
n 1 n 5 n
1
1
1
n sin 2
1.12.1.1.8.7
sin
1.12.1.1.8.8
n
3
n 1
n 1
n 5
n 1
sin 2 n n
( 2 n 1 ) tg n
1.12.1.1.8.9
3
1.12.1.1.8.10
n 1
n 1
n n
Заказать задачи можно здесь.
1.12.1.1.9. Положительные числовые ряды обратные тригонометрические
3
1
arcsin
1.12.1.1.9.1
1.12.1.1.9.2
2 n 1
arcsin n 1
n 1
n 1
3
n
1
arctg
1.12.1.1.9.3
n 1
2 n 1
Заказать задачи можно здесь.
1.12.1.2. Знакопеременные числовые ряды
1.12.1.2.1. Знакопеременные числовые ряды другие
1
1
( 1 ) n 1
1.12.1.2.1.1
1.12.1.2.1.2
n
( 1 ) n 1
n 1
n 1
n
1
1
( 1 ) n 1
1.12.1.2.1.3
1.12.1.2.1.4
n
( 1 ) n 2
n 1
n 1
n
1
n
( 1 ) n 1
1.12.1.2.1.5
1.12.1.2.1.6
2 n
( 1 ) n 1
n 1
n 1
6 n 5
n n
2
( 1 ) n 1 n
n
2
1.12.1.2.1.7
1.12.1.2.1.8
n 1
( 1 ) 2
n 1
n 1
2 n
n 1
( 1 ) n 1
( 1 ) n 1 n
1.12.1.2.1.9
1.12.1.2.1.10
2
n 1
n 1
n
( 1 ) n
1
2
1.12.1.2.1.11
1.12.1.2.1.12
n
( 1 ) n 1
n 1
n 1
n
( 1 ) n 1
1
1
1.12.1.2.1.13
1.12.1.2.1.14
2 n 1
( 1 ) n 1 n
n 1
n 1
n 2
n
( 1 ) n nx n
( 1 ) n
1.12.1.2.1.15
1.12.1.2.1.16
n 1
5 n 2
2
n 1
2 n 3
n
( 1 ) n
( 1 ) n 1
1.12.1.2.1.17
1.12.1.2.1.18
n 1
6 n 5
2
n 1 3 n 1
1
1
n
( 1 ) n 1 n
1.12.1.2.1.01
1.12.1.2.1.02
n 2
( 1 ) n
n 1
n 1
5 n 2
( 1 ) n 1
( 1 ) n 1 n 2 n
1.12.1.2.1.03
1.12.1.2.1.04
n 1 2 n 1
n 1
3 n
2 n 1
( 1 ) n
1.12.1.2.1.05
n 2
3 n
Заказать задачи можно здесь.
1.12.1.2.2. Знакопеременные числовые ряды со скобками
n ( n 1 )
n
n
2 n 1 n
( 1 ) 2
1.12.1.2.2.1
1.12.1.2.2.2
n 1
2 n 1
( 1 ) n
n 1
3 n 1
( 1 ) n 1
2 n 1
1.12.1.2.2.3
1.12.1.2.2.4
n 1 n ( n 1 ) 2
( 1 ) n 1
n 1
n ( n 1 )
1
( 1 ) n 1 ( x 2 ) 2 n
( 1 ) n 1
1.12.1.2.2.5
1.12.1.2.2.6
( 2 n 1 ) 3
n 1
n 1
2 n
n
1 2
n
( 1 ) n 2 3 n 1  e n 1 
1.12.1.2.2.01
( 1 ) n
1.12.1.2.2.02
n 1
n 1
n 2
Заказать задачи можно здесь.
1.12.1.2.3. Знакопеременные числовые ряды с ln
3 n 1
1
( 1 ) n 1 ln
1.12.1.2.3.1
1.12.1.2.3.2
3 n 1
( 1 ) n ln 1 3
n 1
n 1
n
1
( 1 ) n 1
( 1 ) n 1
1.12.1.2.3.3
1.12.1.2.3.4
ln( n 1 )
n 1
n 1
ln n
( 1 ) n
1.12.1.2.3.01
n 2
n ln n
Заказать задачи можно здесь.
1.12.1.2.4. Знакопеременные числовые ряды с иррациональностями
1
( 1 ) n 1
( 1 ) n tg
1.12.1.2.4.1
1.12.1.2.4.2
n
n 1
n 1
n
( 1 ) n
( 1 ) n
n
1.12.1.2.4.3
1.12.1.2.4.4
n 1
n
n 1
2 n 1
( 1 ) n 1
( 1 ) n
4 3
1.12.1.2.4.5
1.12.1.2.4.6
n 1
n
n 1
4 n 5
( 1 ) n 1
( 1 ) n
4
1.12.1.2.4.01
1.12.1.2.4.02
n 1
n
n 2
n ln n
Заказать задачи можно здесь.
1.12.1.2.5. Знакопеременные числовые ряды тригонометрические
1
2
( 1 ) n tg
1.12.1.2.5.1
1.12.1.2.5.2
n
( 1 ) n 1 tg
n 1
n 1
n n
( 1 ) n sin n
1.12.1.2.5.01
n 1
2
Заказать задачи можно здесь.
1.12.1.2.6. Знакопеременные числовые ряды обратные тригонометрические
1 1
( 1 ) n arcsin
1.12.1.2.6.1
n 1
n n
Заказать задачи можно здесь.
1.12.1.2.7. Знакопеременные числовые ряды с факториалом !
2
2 n
( 1 ) n
1.12.1.2.7.1
n 1
n !
2
2 n
( 1 ) n 1
1.12.1.2.7.01
n 1
n !
Заказать задачи можно здесь.
1.12.1.2.8. Знакопеременные числовые ряды с е
1 2
( 1 ) n 2 3 n 1  e n 1 
1.12.1.2.8.01
n 1
Заказать задачи можно здесь.
1.12.2 Функциональные ряды
1.12.2.1. Функциональные ряды другие
1
x n
1.12.2.1.1
1.12.2.1.2
n 0
2 n
n 1 х
n 3
x n
1.12.2.1.3
n 1 n 2
Заказать задачи можно здесь.
1.12.2.2. Функциональные ряды со скобками
( x 1 ) n
n
1.12.2.2.1
1.12.2.2.2
n 2
x n x n 1
n 1
n 1
( z i ) n
1.12.2.2.3
1.12.2.2.4
n
4 x 2 n
n 1
n 1
n
1.12.2.2.5
3 n ( x 1 ) n
1.12.2.2.6
n 1 ( х 2 ) n
n 1
n 3
1
( x 2 ) 2 n 1
1.12.2.2.7
2
1.12.2.2.8
n 1 ( n 1 )!
n 1 ( 3 n 1 )( 3 x 2 4 x 2 ) n
( 1 ) n 1 ln n x
( x 1 ) n
n
1.12.2.2.01
3 ( n 1 )
1.12.2.2.02
n 1
n 1 ( 3 n 1 ) n 3 n
Заказать задачи можно здесь.
1.12.2.3. Функциональные ряды знакопеременные
( 1 ) n sin nx
( 1 ) n 1 ln n x
1.12.2.3.1
1.12.2.3.2
n 1
n 2
n
n 1
3 ( n 1 )
Заказать задачи можно здесь.
1.12.2.4. Функциональные ряды тригонометрические
cos nx
sin nx
nx
1.12.2.4.1
1.12.2.4.2
e
sin x
n 1
n 1
n
( 1 ) n sin nx
1.12.2.4.3
n 1
n 2
Заказать задачи можно здесь.
1.12.2.5. Функциональные ряды с ln
ln( n 1 )
ln n ( x 2 1 )
1.12.2.5.1
2
1.12.2.5.2
n 1
n 1 x ( n 1 ) 3
( 1 ) n 1 ln n x
n
1.12.2.5.3
n 1
3 ( n 1 )
( 1 ) n 1 ln n x
n
1.12.2.2.01
n 1
3 ( n 1 )
Заказать задачи можно здесь.
1.12.2.6. Функциональные ряды с e
e nx
1.12.2.6.1
ne nx
1.12.2.6.2
n 0
n 1
cos nx
1.12.2.6.3
e nxx䤀
n 1
Заказать задачи можно здесь.
1.12.2.7. Функциональные ряды с !
n 3
( x 2 ) 2 n 1
1.12.2.7.1
n 1 ( n 1 )!
Заказать задачи можно здесь.
1.12.3 C тепенные ряды
1.12.3.1. Степенные ряды другие
2 n
x 3 n
x n
1.12.3.1.1
1.12.3.1.2
n 1 2 n 1
n
n 1 8
x n
x n
2
1.12.3.1.3
1.12.3.1.4
n 1 n
n
n 1 n 10
n 5
1
x n
1.12.3.1.5
1.12.3.1.6
n 1 n 11
2 y n
n 1 n
nx n
nx n
2
1.12.3.1.7
1.12.3.1.8
n 1 n 1
3 n
n 1
5 n x n
nx n
2 n
1.12.3.1.9
1.12.3.1.10
n 1 n 3
n 1 n
n 1 2
3
nx n
2 n x n
n
1.12.3.1.11
1.12.3.1.12
n 1 2
n
n 1 6 3 n
2 n x n
5 n x n
n
1.12.3.1.13
1.12.3.1.14
n 1 3 7 n
n
n 1 3 4 n
7 n x n
n
1.12.3.1.15
n 1 5 3 n
nx n
n
n
2 x
n
1.12.3.1.01
1.12.3.1.02
n 1
2
n
n 1
6 3 n
n
n
n
n
2 x
5 x
n
1.12.3.1.03
n
1.12.3.1.04
n 1 3 7 n
n 1
3 4 n
n
n
7 x
5 n 1
n
1.12.3.1.05
n x n
1.12.3.1.06
n 1 5 3 n
n 1 n 6
n 2 x n
4 х 2
27 х 3
256 х 4
n
1.12.3.1.07
х
... 1.12.3.1.08
n 0
4
1 2
1 2 3
1 2 3 4
nx n
n 1 n
1.12.3.1.09
n 1 2
3
Заказать задачи можно здесь .
1.12.3.2. Степенные ряды со скобками
( x 2 ) n
( nx ) n
1.12.3.2.1
1.12.3.2.2
n 1
n
n 1
5
n ( x 2 ) n
( 2 x 3 ) n
2
1.12.3.2.3
1.12.3.2.4
n 1 ( 2 n 1 ) 5 n
n 1
2 n 1
n
( x 3 ) n
n 3
1.12.3.2.5
x n
1.12.3.2.6
n 1 ( 2 n 3 ) 2 n
n 1 n 1
( x 3 ) n
n 2
n 1
1.12.3.2.7
x n
1.12.3.2.8
n 1
2
n 1 ( n 1 ) 5
n
( nx ) n
2
( x 1 ) n
1.12.3.2.9
1.12.3.2.10
n 1 n 2
n 1
n !
5 n x n
2 n x n
1.12.3.2.11
1.12.3.2.12
n 1 ( 2 n 1 ) 2 3 n
n 1 n ( n 1 )
n 2 n
2
x n
1.12.3.2.13
2 ln 2 n ( x 3 ) n
1.12.3.2.14
n 1 n 5
n 1
( x 5 ) 2 n 1
2 n 1 n
1.12.3.2.15
( x 2 ) n
1.12.3.2.16
2 n 4 n
n 1
n 1 3 n 2
( x 5 ) 2 n 1
( x 1 ) 2 n
n
1.12.3.2.17
1.12.3.2.18
4
n 1
n 1
n 9 n
( x 3 ) n
( n 1 ) x n
2
1.12.3.2.19
1.12.3.2.20
n 1
n
n
n 1 3 ( n 2 )
nx n
n
n
1.12.3.2.21
n ( x 1 ) n
1.12.3.2.22
n 1 5 ( n 1 )
n 1 2
ln( n 1 )
5 n x n
2
1.12.3.2.23
1.12.3.2.24
n 1 x ( n 1 ) 3
n 1 ( 2 n )!
n 1 x n
n
nx
n
1.12.3.2.01
1.12.3.2.02
n 1
3 n 2
n
n 1
5 n 1
n 3
n
( n 1 ) x n
x n
1.12.3.2.03
1.12.3.2.04
n 1 n 1
n 1 n 2
n 0 2
3
( х 3 ) n
n
1
1
n 1
1.12.3.2.05
x arctg n 1
1.12.3.2.06
n 1
2
n 1
2
2
n 2 n
2
( х 5 ) 2 n 1
x n
1.12.3.2.07
1.12.3.2.08
n 1 n 5
n 1
2 n 4 n
7 n x n
5 n x n
n
1.12.3.2.09
1.12.3.2.010
n 0 10 ( 10 n 1 )
n 1 ( 2 n 1 ) 2 3 n
( n 1 ) x n
( х 1 ) n
1.12.3.2.011
3
n
2
1.12.3.2.012
n 1
n 1 ( n 3 ) 5 n
nx n
4 n ( x 1 ) 2 n
1.12.3.2.013
1.12.3.2.014
n 1 ( n 1 ) 2
n 1
n
Заказать задачи можно здесь.
1.12.3.3. Степенные ряды знакопеременные
( 1 ) n x 2 n
( x 5 ) n
1.12.3.3.1
1.12.3.3.2
n 1
( 1 ) n 1
n 1
n 1
n 3 n
( 1 ) n ( x 3 ) n
( 1 ) n 1 ( x 1 ) n
2
1.12.3.3.3
1.12.3.3.4
n 1
n 2 n 3
n 1
n ( n 3 )
( 1 ) n x n
( 1 ) n 1 2 n 1 x 2 n 2
1.12.3.3.5
1.12.3.3.6
n 1
2 n 1
n 1
Заказать задачи можно здесь.
1.12.3.4. Степенные ряды с иррациональностями
3 n x n
3 n x n
n
1.12.3.4.1
1.12.3.4.2
n 1 5
n
n
n 1 2
n
3 n x n
7 n x n
n 3
1.12.3.4.3
1.12.3.4.4
n 1 7
n 1
n 3
n 1 6
n 1
3 n x n
3 n x n
n 3
1.12.3.4.5
1.12.3.4.6
n 1 6
n 1
n 1
n
7 n x n
5 n nx n
n 3
1.12.3.4.7
1.12.3.4.8
n 1 6
n
4 nn
n 1
2 n x n
3 n x n
n
1.12.3.4.9
1.12.3.4.10
n 1 3
n
n 3
n 1 2
n 1
x n
( 1 ) n x n
1.12.3.4.11
n 1
1.12.3.4.12
n 1
n 9 n
n 1 3
n
n
n ( x 1 ) n
1.12.3.4.13
n 1 2
3 n x n
7 n x n
1.12.3.4.01
n 3
1.12.3.4.02
n 1
n
n 1 6
n
5 n nx n
a n x n
1.12.3.4.03
n
n 3
, a = 7, b = 6 1.12.3.4.04
n 1
4
n 1 b n 1
a n x n
a n x n
n 3
, a = 3, b = 6 1.12.3.4.05
, a = 3, b = 7 1.12.3.4.06
n 1 b n 1
n 3
n 1 b n 1
5 n x n
a n x n
1.12.3.4.07
n 3
a = 7, b = 5 1.12.3.4.08
n 1 ( 2 n 1 ) 2 3 n
n 1 b n 1
Заказать задачи можно здесь.
1.12.3.5. Степенные ряды с ln
ln( n 1 )
2
1.12.3.5.1
n 1 x ( n 1 ) 3
2 ln 2 n ( x 3 ) n
1.12.3.5.01
n 1
Заказать задачи можно здесь.
1.12.3.6. Степенные ряды с факториалом !
z n
n ! x n !
1.12.3.6.1
1.12.3.6.2
n 1
n 1 n !
2 n x n
x n
1.12.3.6.3
1.12.3.6.4
n 1
n !
n 1 n !
( nx ) n
n ! x n
1.12.3.6.5
1.12.3.6.6
n 1
n 1
n !
5 n x n
1.12.3.6.7
n 1 ( 2 n )!
Заказать задачи можно здесь.
1.12.3.7. Степенные ряды тригонометрические
1
n
1
x arctg n 1
1.12.3.7.01
n 1
2
2
Заказать задачи можно здесь.
1.12.4 Ряды Тейлора (Маклорена)
1.12.4.1. Разложить функцию в ряд по степеням
3
f ( x ) ch x
1.12.4.1.1
f ( x )
1.12.4.1.2
( 1 x )( 1 2 x )
1 x
f ( x ) sin
x
1.12.4.1.3
f ( x ) ln
1.12.4.1.4
4
1 x
x
f ( x ) dt
sin t
1.12.4.1.5
f ( x ) e x
1.12.4.1.6
0
t
1
f ( x ) по х 2
1.12.4.1.7
1
f ( x )
по х 2
1.12.4.1.8
x
2
x 4 х 7
1
f ( x )
по х 4
1.12.4.1.9
f ( x ) ln( x 2 3 x 2 ) по х 1.12.4.1.10
2
x 3 х 2
2
x
f ( x )
по х
1.12.4.1.11
f ( x ) 2 x
1.12.4.1.12
9 x 2
f ( x ) e x 2
1.12.4.1.13
f ( x ) x 3 5 x 2 4 x 1 по ( х 2 ) 1.12.4.1.14
f ( x ) e x sin x
1.12.4.1.15
f ( x ) x 2 cos xdx a 0 , 2 1.12.4.1.16
f ( x ) xe x dx a 0 , 3
1.12.4.1.17
1
по степ . х
1.12.4.1.18
3
27 x 3
1
arctg
2
x пo х 1
1.12.4.1.19
f ( x ) x 2 4 3 x
1.12.4.1.20
g ( x ) ln( x 3 ) пo х 2
1.12.4.1.21
f ( x ) х 2 cos xdx ; а = 0,2 1.12.4.1.01
f ( x ) x 2 cos 3 4 x ; а = - 0,6
1.12.4.1.02
x
x
f ( х )
1.12.4.1.03
y x arctg
1.12.4.1.04
3 x 4
2
1
,
a 1
1.12.4.1.05
5 x
Заказать задачи можно здесь.
1.12.4.2. Приближённое вычисление определённого интеграла с заданной точностью
с помощью разложения в ряд
1
sin x
1
sin 3 x
dx
1.12.4.2.1
dx
1.12.4.2.2
x
0
0
x
1
2
3
1
x
e x 2 dx
1.12.4.2.3
x e 2 dx
1.12.4.2.4
0
0
1
0 , 2
sin 5 x
cos x dx
1.12.4.2.5
dx
1.12.4.2.6
0
0
x
0 , 4
0 , 4
3 х 2
e 2 , 2 x 2 dx
1.12.4.2.7
e 4 dx
1.12.4.2.8
0
0
b
b
sin kx
sin kx
dx b = 0,2; k = 5
1.12.4.2.01
dx b = 0,8; k = 1,25 1.12.4.2.02
x
0
0
x
b
b
sin kx
sin kx
dx b = 0,4; k = 2,5 1.12.4.2.03
dx
b = 0,25; k = 4 1.12.4.2.04
x
0
0
x
b
b
sin kx
dx
b = 0,5; k = 2
1.12.4.2.05
x
e kx 2 dx b = 0,4; k = 2,2 1.12.4.2.06
0
0
b
b
e kx 2 dx b = 0,6; k = 0,4 1.12.4.2.07
e kx 2 dx b = 0,5; k = 0,9 1.12.4.2.08
0
0
b
b
e kx 2 dx b = 0,4; k = 1,7
1.12.4.2.09
e kx 2 dx b = 0,6; k = 0,7
1.12.4.2.010
0
0
0 , 5
1
sin x
cos 2 x 2 dx
1.12.4.2.011
1.12.4.2.012
0
x dxx琀
0
0 , 5
dx
1
x 2
3
1.12.4.2.013
dx
1.12.4.2.014
0
1 x 3
cos 4
0
1
0 , 2
2
х cos хdx
1.12.4.2.015
cos x 2 dx
1.12.4.2.016
0
0
Заказать задачи можно здесь.
1.12.4.3. Приближённое решение дифференциального уравнения с
помощью разложения в ряд
y x 2 y 3 1
1.12.4.3.1
y xy y 2 e y ,
y ( 0 ) 0
1.12.4.3.2
y e y xy ,
y ( 0 ) 0
1.12.4.3.3
y x 2 y 3 , y ( 1 ) 0
1.12.4.3.4
1
1
y x 2 y 2 ,
y ( 0 )
1.12.4.3.01
y x 2 у 2 y sin x , y ( 0 )
1.12.4.3.02
2
2
Заказать задачи можно здесь.
1.12.5 Ряды Фурье (тригонометрические ряды )
1.12.5.1. Ряды Фурье для функций, заданных уравнениями
f ( x ) x 2 , 0 x
1.12.5.1.1
f ( x ) sin ax , x 1.12.5.1.2
f ( x ) x
1.12.5.1.3
f ( x ) 2 x 1 x 1
1.12.5.1.4
f ( x ) x 2
( 0 ; 2 )
1.12.5.1.5
Заказать задачи можно здесь.
1.12.5.2 . Ряды Фурье для функций, заданных системой
  1
1 x 0
  2
x 0
f ( x )
1.12.5.2.1
f ( x )
1.12.5.2.2
2 x ,
0 x 1
x ,
0 x
1
x 0
1 / 4
x 0
y
2
1.12.5.2.3
f ( x )
1.12.5.2.4
x
0 x
x 2 , 0 x
2
2 x 3 x 0
f ( x )
1.12.5.2.5
х 3 x 0
f ( x )
1.12.5.2.6
1 / 2 , 0 x
3 x 0 x 3
0
0 t
t
0 t
f ( x ) t
1.12.5.2.7
f ( x )
cos
e
1.12.5.2.8
cos
t e
e
0
t e
1
x 0
2 х 3 ,
x 0
f ( x ) 4
,
1.12.5.2.01
f ( x ) 1
1.12.5.2.02
  2 ,
0 x
x
0 x
,
2
Заказать задачи можно здесь.